Progressão Aritimética

(UECE-17) O quadro numérico apresentado a seguir é construído segundo uma lógica estrutural.

1	3	5	7	9	...	...	101
3	3	5	7	9	...	...	101
5	5	5	7	9	...	...	101
7	7	7	7	9	...	...	101
...	...	...	...	...	...	...	.....
...	...	...	...	...	...	...	.....
101	101	101	101	101	...	...	101

Considerando a lógica estrutural do quadro acima, pode-se afirmar corretamente que a soma dos números que estão na linha de número 41 é

A) 4443

B) 4241

C) 4645

D) 4847

Resposta: 

Algumas observações acerca da estrutura das linhas:

1.) O primeiro termo de uma linha "n" pode ser calculado por [latex](2n-1)[/latex]. Por exemplo, o primeiro termo da terceira linha é [latex](2\cdot 3-1)= 5 [/latex] 

2.) Para qualquer linha, o último termo é 101. 

3.) O primeiro termo de cada linha repete uma quantidade de vezes igual ao valor da linha, ou seja, em uma linha genérica "n", o valor [latex](2n-1)[/latex] repete n vezes. Perceba que na linha 4, o valor [latex](2\cdot 4-1) = 7[/latex] repete 4 vezes. 

4.) O termo que vem logo após a repetição do primeiro termo é o próprio primeiro termo somado a 2, ou seja, [latex](2n+1)[/latex] , e este termo será o primeiro termo de uma P.A de razão 2 que terminará em 101. 

Com essas informações em mente, podemos generalizar a estrutura das linhas:

[latex]\underset{n}{\underbrace{(2n-1)\;\;(2n-1)\;\;(2n-1)\;\;(2n-1)}}\;\;(2n+1)\;\;(2n+3)\; \ldots 101[/latex]


Portanto, a soma da enésima linha será: 


[latex]\underset{n}{\underbrace{(2n-1)\;+\;(2n-1)\;+\;(2n-1)\;+\;(2n-1)}}\;+\;(2n+1)\;+\;(2n+3)\;+ \ldots +101[/latex]


Escrevendo em forma de somatório, para a enésima linha:


[latex]n\cdot(2n-1) + \sum_{k=n+1}^{51}2k-1[/latex]


Para n = 41:


[latex]41\cdot(2\cdot41-1) + \sum_{k=42}^{51}2k-1[/latex]

[latex]41\cdot81 + 2 \cdot \sum_{42}^{51} k - \sum_{42}^{51} 1[/latex]


[latex]41\cdot81 + 2 \cdot \frac{10^*(42+51)}{2} - 10^* \cdot 1 = 4241[/latex] ->*Obs: Na P.A que se inicia após a repetição, a quantidade de termos até o 101 pode ser calculada por (51-n), com o n = 41, tem-se 10 termos. 


Alternativa b

M'aiq escreveu:Algumas observações acerca da estrutura das linhas:

1.) O primeiro termo de uma linha "n" pode ser calculado por [latex](2n-1)[/latex]. Por exemplo, o primeiro termo da terceira linha é [latex](2\cdot 3-1)= 5 [/latex] 

2.) Para qualquer linha, o último termo é 101. 

3.) O primeiro termo de cada linha repete uma quantidade de vezes igual ao valor da linha, ou seja, em uma linha genérica "n", o valor [latex](2n-1)[/latex] repete n vezes. Perceba que na linha 4, o valor [latex](2\cdot 4-1) = 7[/latex] repete 4 vezes. 

4.) O termo que vem logo após a repetição do primeiro termo é o próprio primeiro termo somado a 2, ou seja, [latex](2n+1)[/latex] , e este termo será o primeiro termo de uma P.A de razão 2 que terminará em 101. 

Com essas informações em mente, podemos generalizar a estrutura das linhas:

[latex]\underset{n}{\underbrace{(2n-1)\;\;(2n-1)\;\;(2n-1)\;\;(2n-1)}}\;\;(2n+1)\;\;(2n+3)\; \ldots 101[/latex]


Portanto, a soma da enésima linha será: 


[latex]\underset{n}{\underbrace{(2n-1)\;+\;(2n-1)\;+\;(2n-1)\;+\;(2n-1)}}\;+\;(2n+1)\;+\;(2n+3)\;+ \ldots +101[/latex]


Escrevendo em forma de somatório, para a enésima linha:


[latex]n\cdot(2n-1) + \sum_{k=n+1}^{51}2k-1[/latex]


Para n = 41:


[latex]41\cdot(2\cdot41-1) + \sum_{k=42}^{51}2k-1[/latex]

[latex]41\cdot81 + 2 \cdot \sum_{42}^{51} k - \sum_{42}^{51} 1[/latex]


[latex]41\cdot81 + 2 \cdot \frac{10^*(42+51)}{2} - 10^* \cdot 1 = 4241[/latex] ->*Obs: Na P.A que se inicia após a repetição, a quantidade de termos até o 101 pode ser calculada por (51-n), com o n = 41, tem-se 10 termos. 


Alternativa b

Não tem uma forma mais rápida ou simples de resolver?

Master Peladium escreveu:Não tem uma forma mais rápida ou simples de resolver?

Problemas envolvendo lógica/somatórios/sequências quase sempre podem ser respondidos de diversas formas. Eu respondi desta forma não por ser a mais rápida ou ágil, mas por ser a mais didática possível, já que ela fornece um tratamento algébrico à lógica estrutural do quadro. É sempre sábio treinar para fazer o mais rápido possível. O importante é que o raciocínio deve estar presente e ele deve ser correto.

Por exemplo, tendo percebido aquelas características que já mencionei, podia-se simplesmente fazer:

81 vai repetir 41 vezes, então sua soma é [latex]81 \cdot 41 [/latex] = 3321

Em seguida vem uma pa, onde 81 + 2 = 83 é o primeiro termo e 101 é o enésimo termo, a razão é 2, logo, pelo termo geral da PA:

[latex]101 = 83 + 2(n-1) \rightarrow n = 10[/latex] (ou seja, 101 é o décimo termo)

A soma dos 10 primeiros termos dessa PA será: [latex]\frac{10(83+101)}{2}[/latex] = 920

920 + 3321 = 4241

-> Perceba que o raciocínio é exatamente o mesmo

Outra forma é observar que a soma dos termos das linhas formam, entre si, uma P.A de segunda ordem. Consequentemente, o termo geral da soma em função da linha n será um polinômio do segundo grau. Calculando a soma de 3 das linhas fornecidas, bastaria montar um sistema linear 3x3 para determinar os coeficientes do termo geral. Substituir n = 41 forneceria o resultado.