EFOMM 2009

por May007 Sáb 25 Ago 2012, 15:26

A, B e C são pontos consecutivos no sentido anti-horário de uma circunferência de raio r. O menor arco AB tem comprimento igual a r. Tomando-se como unidade u a medida do ângulo agudo AĈB, qual é o valor do seno de π/6 u ?

R: Raiz de 2 - raiz de três (dentro da raiz de 2) / 2

Tentei fazer de vários jeitos e não consegui : s

por Convidado Dom 21 Out 2012, 01:53

Para não se confundir siga as observações:
1- como o arco menor AB tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência, o ângulo determina é 1 radiano
2- o arco inscrito em C enxerga o mesmo arco em AB, e portanto ele é a metade do ângulo central (u=1/2 rad)
Depois disso aplicamos:
$u=\frac{1}{2}\text{rad}\\ \therefore \frac{\pi}{6}u=\frac{\pi}{12}=\frac{a}{2}\\ \sin{a}=2\sin{\frac{a}{2}}\sqrt{1-\sin^2{\frac{a}{2}}}\;\;\text{ fazendo} \sin{a/2}=x\\ \frac{1}{2}=2x\sqrt{1-x^2}\\ \frac{1}{4}=4x^2(1-x^2)\\ 1=16x^2-16x^4\to 16x^2-16x^2+1=0\\ x^2=\frac{16\pm\sqrt{16^2-4\cdot16\cdot1}}{32}=\frac{16\pm8\sqrt{3}}{32}=\frac{2\pm\sqrt3}{4}\\ \text{Se o sinal fosse mais o seno seria maior que }\sin{\pi/6}\text{ o que não é}\\ \sin{\frac{\pi}{12}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}$

por **Elcioschin** Qui 06 Abr 2023, 10:52

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