Lançamento horizontal

por **Pietro di Bernadone** Sex 10 Ago 2012, 10:20

Bom dia prezados usuários do Pir²!

Uma partícula é lançada horizontalmente do alto de um edifício com uma velocidade de módulo v0. Calcularemos o raio de curvatura de sua trajetória. Com esse objetivo, calcule, sucessivamente,

a) o módulo da velocidade da partícula como função do tempo,
b) a componente tangencial da aceleração,
c) a componente normal da aceleração,
d) o raio de curvatura em função do tempo e também em função da distância horizontal percorrida pela partícula desde o seu lançamento.

Gabarito: a) $Lançamento horizontal Gif$

b) $Lançamento horizontal Gif$

c) $Lançamento horizontal Gif$

d) $Lançamento horizontal Gif$

Certo de sua atenção,

Pietro

por **Euclides** Sex 10 Ago 2012, 20:49

Caro Pietro,

a figura abaixo ilustra esse lançamento horizontal, mostrando em dois pontos as componentes da velocidade e da aceleração do movimento.

A velocidade horizontal, na ausência de forças resistentes, será conservada durante todo o movimento. Em qualquer ponto da trajetória v_x=v_o. A velocidade vertical é inicialmente zero e cresce acelerada pela gravidade de tal forma que: $\dpi{100} v_y=gt$ .

A única aceleração do movimento é a da gravidade que se manifesta por suas componentes normal e tangencial à trajetória.

Lançamento horizontal Struck

a) a velocidade em função do tempo é tangencial e é dada pela soma vetorial das componentes horizontal e vertical, portanto:

$v=\sqrt{v_0^2+g^2t^2}$

b) a aceleração tangencial será dada pela derivada primeira da velocidade tangencial. Uma derivada simples:

$\frac{dv}{dt}=\frac{g^2t}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}$

c) a componente normal da aceleração é uma componente vetorial (Pitágoras num triângulo retângulo) dada por

$a_N=\sqrt{g^2-\left (\frac{g^2t}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}} \right )^2}=g\sqrt{1-\frac{g^2t^2}{v_0^2+g^2t^2}}$

d) o raio de curvatura a cada ponto é obtido a partir da aceleração normal, que é centrípeta

$\\a_N=\frac{v_t^2}{r}\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;g\sqrt{1-\frac{g^2t^2}{v_0^2+g^2t^2}}=\frac{v_0^2+g^2t^2}{r}\\\\\\r=\frac{v_0^2+g^2t^2}{g\sqrt{1-\frac{g^2t^2}{v_0^2+g^2t^2}}} =\frac{(v_0^2+g^2t^2)^{\frac{3}{2}}}{gv_0}$

por **alissonsep** Sáb 11 Ago 2012, 11:02

Magnifica resposta Mestre Euclides. Parabéns mesmo

Quero um dia poder ter esse poder de interpretação e raciocínio.

Parabéns

cheers

:bounce:

por Huan_ Sáb 11 Ago 2012, 12:03

$a_N=\sqrt{g^2-\left (\frac{g^2t}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}} \right )^2}=g\sqrt{1-\frac{g^2t^2}{v_0^2+g^2t^2}}$

Não seria g^4 *t^2 não?

por Luan F. Oliveira Sáb 11 Ago 2012, 12:26

Huan_ escreveu: $a_N=\sqrt{g^2-\left (\frac{g^2t}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}} \right )^2}=g\sqrt{1-\frac{g^2t^2}{v_0^2+g^2t^2}}$

Não seria g^4 *t^2 não?

$\sqrt{g^2-\left%20(\frac{g^2t}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}%20\right%20)^2}=\sqrt{g^{2}-\frac{g^{4}t^2}{v_0^2+g^2t^2}}=\sqrt{g^{2}(1-\frac{g^2t^2}{v_0^2+g^2t^2})}$
$\sqrt{g^{2}(1-\frac{g^2t^2}{v_0^2+g^2t^2})}=g\sqrt{1-\frac{g^2t^2}{v_0^2+g^2t^2}}$