Números - Megazine

Veja como o número 1.234 pode ser escrito: 1*(10)³ + 2*(10)² + 3*(10)^1 + 4*(10)^0. Fazemos assim, pois o sistema que usamos é o sistema decimal. Em geral, um número N = abc é escrito na forma: a*(10)² + b*(10) + c.
Existe um número natural de três algarismos cuja soma dos seus cubos dá o próprio número. Sabendo que o consecutivo desse número também atende à mesma propriedade, que número é esse?

a) 450
b)210
c)760
d) 370

Olá, Jose Carlos.

Considerando o número formado por algarismos distintos teremos:

x³+y³+z³=100x+10y+z (I)

Para o consecutivo teremos:

x³+y³+(z+1)³= 100x+10y+z+1

x³+y³+z³+3z²+3z+1= 100x+10y+z+1 (II)

Substituindo (I) em (II) teremos:

x³+y³+z³+3z²+3z+1=x³+y³+z³+1 ---> 3z²+3z=0 ---> z=0 ou z=-1

z deve ser natural maior ou igual a zero logo, z=0

Substituindo o valor de z em (I) teremos:

x³+y³= 100x+10y ---> (x+y)(x²-xy+y²)= 10.(10x+y)

(x+y)=10 ---> x=10-y (III)

(x²-xy+y²)= 10x+y (IV)

Substituindo (III) em (IV) teremos:

(10-y)²-y(10-y)+y²= 10(10-y)+y

100-20y+y²-10y+y²+y²=100-10y+y

3y²-21y= 0 ---> 3y(y-7)=0 ---> y=0 ou y=7

Logo, y=7

x=10-y ---> x= 10-7 ---> x=3

O número é 370

Alternativa:d

Olá Adriano,

Obrigado por mais esta solução, muito boa.

Um abraço.