Função derivável

por **Bruna Barreto** Qua 08 Ago 2012, 00:19

O valor das constantes a e b para as quais a função real $g(x)\begin{cases} &ax + b \text{ se } x\leq -1 \\ &ax^3 + x + 2b \text{ se } x> 1 \end{cases}$
seja derivável para todo x.
Pessoal qual é a condiçao para que uma funçao seja derivável???.. seria essa funçao ser contínua???
só consegui achar o valor de b, fazendo com que essa função seja contínua.. :drunken:

Spoiler:

por **Robson Jr.** Qua 08 Ago 2012, 00:33

É isso mesmo, Bruna; uma função é derivável no intervalo [x, y] se ela for contínua nele.

por **Bruna Barreto** Qua 08 Ago 2012, 00:38

então Robson só consegui achar b mas nao "a" rs.

por **Robson Jr.** Qua 08 Ago 2012, 00:45

Não tem algo errado nesse enunciado?

A função está definida para ]-∞, -1] e ]1, +∞[. Mas e pra ]-1, 1]?

por **Bruna Barreto** Qua 08 Ago 2012, 10:09

Robson .. eu copiei o enunciado certo de um material do professor Madeira lembra dele? rs
entao esta aqui: https://docs.google.com/file/d/0B09ggPPZzKsZZWFmYTA2MzQtMDE1Zi00OWQyLTk0NDktNzMxMzU1OTU3NjFi/edit?authkey=CKKawPAH
questao 3

por **Robson Jr.** Qua 08 Ago 2012, 11:49

Bruna Barreto escreveu:Robson .. eu copiei o enunciado certo de um material do professor Madeira lembra dele? rs

Olhe novamente, Bruna. Você esqueceu que na segunda equação também é -1. Smile

Para a função ser contínua em x = -1, os limites laterais devem existir e ser iguais.

$\small \\ \lim_{x \to -1^-}g(x)=\lim_{x \to -1^+} g(x) \Leftrightarrow -a+b=-a-1+2b \Leftrightarrow {\color{Red} b=1}$

Além disso, se g(x) é derivável em x = -1, então g'(-1) deve tender ao mesmo valor tanto pela esquerda quanto pela direita.

$\small \\ \lim_{x \to 1^-}g'(x)=\lim_{x \to 1^+} g'(x) \Leftrightarrow a=3a+1 \Leftrightarrow {\color{Red} a=-\frac{1}{2}}$