Cilindros

por vitorCE Dom 05 Ago 2012, 09:42

Dão-se as áreas totais 18 pi m² e 32 pi m² de dois cilindros.Cada um tem por raio e por altura, respectivamente, a altura e o raio do outro.Determine os dois volumes.

resposta: v1=1296pi/125 ; v2=20736pi/125

por **JoaoGabriel** Dom 05 Ago 2012, 22:07

Antes de tudo, belíssima questão!

Vamos lá:

Chamamos os cilindros de A e B, cujas áreas totais são, respectivamente, $18\pi m^2$ e $32\pi m^2$ .

Conforme dito, o raio de A equivale a altura de B, e a altura de A equivale ao raio de B. Escrevamos em função de A:

$\\A: altura \to h \therefore raio\to r\\\\ B:altura \to r \therefore raio\to h$

Área total de A:

$\\A = 2A_B+A_L \therefore A = 2\pi r^2 + 2\pi r h\\\\2\pi(r^2 + rh) = 18\pi\to r^2+ rh = 9$

Mesmo procedimento para B:

$\\A = 2A_B+A_L \therefore A = 2\pi h^2 + 2\pi r h\\\\2\pi(h^2 + rh) = 32\pi\to h^2+ rh = 16$

Agora temos um sistema:

$\\\left\{\begin{matrix} r^2 & + & rh & = & 9\\ h^2 & + & rh & = & 16 \end{matrix}\right.$

Isolando h na primeira e substituindo na segunda:

$\\h = \frac {9 - r^2}{r}\\\\(\frac {9 - r^2}{r})^2 + 9 - r^2= 16\\\\ (9 - r^2)^2 - 7r^2 - r^4 = 0\to r = \frac {9}{5} \\\\ h = \frac {9 - \frac {81}{25}}{\frac{9}{5}} \to h = \frac {16}{5}$

Agora é só resolver:

$\\V_A = \pi \times \frac {81}{25}\times \frac {16}{5} = \frac {1296\pi}{125}$

Agora deu algo estranho:

$\\V_B = \pi \times \frac {256}{25}\times \frac {9}{5} = \frac {2304\pi}{125}$

Não conferindo com seu gabarito. No entanto, caso você multipliquei o 256/25 * 9²/5, dá o gabarito, mas não vejo razão para tal. Seria um erro no gabarito ou algum no meu desenvolvimento? O que a galera acha?

De qualquer forma, abraços!