Parábola - (vértice)

por Paulo Testoni Qui 05 Nov 2009, 09:01

A parábola de equação y = -2x² + bx + c passa pelo ponto (1,0) e seu vértice é o ponto (3,v). Determine o valor de V. R= 8

por **Jose Carlos** Qui 05 Nov 2009, 15:52

Olá,

seja:

y = a*x² + b*x + c

temos:

y = - 2*x² + b*x + c -> a = - 2

o ponto A( 1, 0 ) pertence à parábola => 0 = - 2*1² + 1*b + c => b + c = 2 (I)

o vértice está situado no ponto:

V( 3, v )

a abscissa do vértice é dada por: xV = - b/2*a => 3 = - b/- 4 => b = 12 (II)

de (I) e (II) temos:

b + c = 2 => 12 + c = 2 => c = - 10

então, a equação da parábola é:

y = - 2*x² + 12*x - 10

como o ponto V( 3, v ) pertence à parábola:

v = - 2*9 + 12*3 - 10 = - 18 + 36 - 10 => v = 8.

Um abraço.

por **Medeiros** Qui 05 Nov 2009, 16:11

outra solução.

y = -2x² + bx + c -----> a = -2
ponto da parábola = P(x,y) = (1,0)
vértice = V(3,v)

da equação canônica da parábola, temos: (x - x_V)² = (1/a)*(y - y_V)

substituindo os valores dados, (1 - 3)² = (-1/2)*(0 - v) -----> 4 = v/2 -----> v = 8

por **Jose Carlos** Sex 06 Nov 2009, 15:30

Olá Medeiros,

Bem legal a sua solução, obrigado.

Um abraço.

por **Medeiros** Sáb 07 Nov 2009, 01:32

Olá José Carlos

Se você me gradece apenas por fazer diferente, então também tenho que lhe agradecer! Na verdade, ao resolvermos por caminhos diferentes, abrimos o leque de conhecimento aos participantes e isso enriquece o fórum. Quanto mais diversidade, melhor.

Se você gostou, também vai gostar dessa solução (que é ligeiramente anterior)
https://pir2.forumeiros.com/matematica-f19/afa-1997-geometria-analitica-t2886.htm

Um abração.

por **Jose Carlos** Seg 09 Nov 2009, 11:17

Olá Medeiros,

Valeu pela dica, muito boa a solução. Eu já tinha empacado nesta questão e acabei desistindo, depois me perdi dela. Obrigado.

Um grande abraço.

por soudapaz Qua 11 Nov 2009, 18:23

Robalo escreveu:A parábola de equação y = -2x² + bx + c passa pelo ponto (1,0) e seu vértice é o ponto (3,v). Determine o valor de V. R= 8

Outra solução.
se o x do vértice é 3 e uma das raízes é 1, então a outra raiz é 5.
Logo, y = -2(x - 1)(x - 5) = -2x² + 12x - 10
Daí, v = -2.3² + 12.3 - 10 = 8

por **aryleudo** Qua 11 Nov 2009, 21:02

Peço permissão aos nobre colegas para dar minha contribuição.
Bem, podemos chegar ao mesmo resultado pelo x_V e y_V.

Substituindo o ponto (1, 0) na equação da parábola y = -2x² + bx + c, temos:
0 = -2.(1)² + b.1 + c
c = - b + 2 (I)

Como V (3, v), então x_V = 3 e y_V = v. Daí:
x_V = -b/2.a --> -b/2.(-2) = 3
-b = -12 x(-1)
b = 12

Substituindo "b" em (I), temos:
c = -12 + 2
c = - 10

Encontrando "v = y_V":
y_V = -Δ/4.a --> v = -[(12)² - 4.(-2).(-10)]/4.(-2)
v = -64/-8
v = 8.

por **Medeiros** Qua 11 Nov 2009, 23:57

Mas meu prezado Aryleudo,

até o seu terceiro item, foi exatamente isso que o José Carlos fez. A única diferença é que, ao final, ele simplesmente substituiu as coordenadas do vértice (3,v) na equação da parábola.