Reta tangente à elipse.

(UFPI) A área do triângulo retângulo formado pelos eixos coordenados e pela reta tangente à elipse (x²/4)+(y²/9) = 1 em um dos pontos de abscissa x = 1, é igual a:
a) 4/9 unidades de área.
b) 9/4 unidades de área.
c) 2\/3 unidades de área.
d) 4\/3 unidades de área.
e) (9\/3)/4 unidades de área.

GABARITO: letra "d".

Para x = 1 ---> 1²/4+ y²/9 = 1 ----> y = 3*\/3/2 ----> P(1, 3*\/3/2)

O coeficiente angular da reta é a derivada da função no ponto indicado

x²/4+ y²/9 = 1 ----> 9x² + 4y² = 36 -----> y = (1/2)*\/(36 - 9x²) ----> y = (1/2)*(36 - 9x²)^(1/2)

y' = (1/2)*(1/2)*(36 - 9x²)^(-1/2)*(-18x) ----> y' = - 9x/2*\/(36 - 9x²)

Para x = 1 ----> y' = - 9/2*\/(36 - 9) ----> y'(1) = - \/3/2

Equação da reta que passa por P(1, 3*\/3/2) e m = - \/3/2

y - 3*\/3/2 = (-\/3/2)*(x - 1) ---> y - 3*\/3/2 = - (\/3/2)*x + \/3/2 ----> y = (-\/3/2)*x + 2*\/3

Pontos de enconto com os eixos:

Para x = 0 -----> y = 2\/3
Para y = 0 -----> x = 4

Área do triângulo -----> S = 4*(2*\/3)/2 ----> S = 4*\/3

Eu havia chegado no primeiro ponto, (1, 3*\/3/2)
mas essa parte da derivada ai complicou... vou estudar ainda hehe
vou tentar de qualquer forma, se eu não conseguir volto quando tiver estudado derivada.
obrigado!

Sem derivadas!
Substitui x=1 na equação da elipse
1/4+y²/9=1
y²/9=3/4
y=+-3sqrt(3)/2
Irei adotar que o triangulo está no primeiro quadrante, logo y=3sqrt(3)/2

Suponha agora que esta reta, tangente a elipse, tenha equação y-3sqrt(3)/2=m(x-1)
y=m(x-1)+3sqrt(3)/2
y=[2m(x-1)+3sqrt(3)]/2

Substituindo na equação da elipse, vem:
x²/4+[2m(x-1)+3sqrt(3)]²/36=1
[2m(x-1)+3sqrt(3)]²=9(4-x²)
4m²(x²-2x+1)+12m(x-1)sqrt(3)+27=9(4-x²)
4m²x²-8m²x+4m²+12msqrt(3)x-12msqrt(3)+27=36-9x²
x²(4m²+9)+x(12msqrt(3)-8m²)+4m²-12msqrt(3)-9=0
Para ter um ponto em comum, Δ=0
(12msqrt(3)-8m²)²-4(4m²+9)(4m²-12msqrt(3)-9)=0
(12msqrt(3)-8m²)²=4(4m²+9)(4m²-12msqrt(3)-9)
432m²-192m³sqrt(3)+64m^4=(16m²+36)(4m²-12msqrt(3)-9)
64m^4-192m³sqrt(3)+432m²=64m^4-192m³sqrt(3)-144m²+144m²-432msqrt(3)-324
432m²=-432msqrt(3)-324
432m²+432msqrt(3)+324=0
Divide por 108:
4m²+4msqrt(3)+3=0
Δ=0
m1=m2=-sqrt(3)/2 (conforme o nosso colega Elcioschin havia encontrado)

Logo, a equação da reta tangente à elipse no ponto (1, 3sqrt(3)/2) é:
y-3sqrt(3)/2=-sqrt(3)/2(x-1)
Para x=0, vem:
y=2sqrt(3)
para y=0, vem;
x=4
Área: 2sqrt(3).4/2=4sqrt(3) u.a

Espero que te ajude.