Reta tangente à elipse

por Nicole Mendes Qua 17 Dez 2014, 09:28

A reta r é tangente à elipse de equação $4x^{2}+9y^{2}=72$ no ponto (-3;-2). Qual é a área do triângulo formado por r e pelos eixos coordenados?

Spoiler:

por **Elcioschin** Qua 17 Dez 2014, 10:06

y² = (72 - 4x²)/9 ---> y = (2/3).(18 - x²)^(1/2)

y' = - 2x/(18 - x²)^(1/2) ---> Para x = -3 ---> y' = - 2/3

Reta r ---> y + 2 = (-2/3).(x + 3) ---> y = (-2/3).x - 4

Para x = 0 ---> y = - 4 ---> |y| = 4
Para y = 0 ---> x = - 6 ---> |y| = 6

S = 4.6/2 ---> S = 12

por Nicole Mendes Qua 17 Dez 2014, 10:31

Não entendi como vc chegou aqui: y' = - 2x/(18 - x²)^(1/2)

por **mauk03** Seg 29 Dez 2014, 20:00

Nicole, y' é a derivada de y. A derivada f'(x0) de uma função y = f(x) no ponto P(x0,f(x0)) é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto P.

por Mefistófeles Ter 17 Mar 2015, 10:48

Pessoal, há algum outro modo de resolução sem usar derivada?

Obrigado.

por **Elcioschin** Ter 17 Mar 2015, 17:00

Certamente que há:

Equação da reta que passa por P(-3, -2) e coeficiente angular m:

y - (-2) = m.[x - (-3)] ---> y = m.x + 3m - 2

Substitua este valor de y na equação da elipse 4x² + 9y² = 72, obtendo uma equação do 2º grau em x

Para a reta se tangente o discriminante deve ser nulo. Calcule ∆ = f(m), iguale a zero e calcule m

Com a equação da reta pronta calcule os pontos de contato dela com os eixos x, y ---> A(x, 0) e B(0, y)

Calcule a área do triânguloo retângulo formado ---> S = xy/2