Reta Tangente - Elipse

por acisif2 Qua 29 Abr 2015, 12:22

A reta tangente à curva de equação:

X²/25 + Y²/9 = 1 no ponto P(3,12/5) é dada por:

Gabarito: 20y + 9x = 75

por **Jose Carlos** Qua 29 Abr 2015, 19:53

- família de retas que passam pelo ponto ( 3, 12/5 ):

y - (12/5) = m*( x - 3 )

y - (12/5) = m*x - 3*m

y = m*x - 3*m + (12/5) ( I)

- substitua (I) em ( x²/25) + ( y²/9 ) = 1

- dewemos ter o discriminante da equação resultante igual a zero

- encontre o walor de 'm' e substitua em (I).

por marcometra Sáb 18 Mar 2023, 22:08

Jose Carlos escreveu:- família de retas que passam pelo ponto ( 3, 12/5 ):

y - (12/5) = m*( x - 3 )

y - (12/5) = m*x - 3*m

y = m*x - 3*m + (12/5) ( I)

- substitua (I) em ( x²/25) + ( y²/9 ) = 1

- dewemos ter o discriminante da equação resultante igual a zero

- encontre o walor de 'm' e substitua em (I).

Desculpe pelo incomodo mas como eu resolveria a questão do MX na equação do delta sendo q terei duas incógnitas em uma mesma equação?

por **Giovana Martins** Dom 19 Mar 2023, 08:37

Resolução 1:

Sejam a elipse λ: 9x² + 25y² = 225 e a reta μ: y = m(x - x') + y'.

Do enunciado P ∈ μ, logo, y = m(x - 3) + 2,4.

Da intersecção entre a elipse e a reta, vem:

9x² + 25[m(x - 3) + 2,4]² = 225

Manipulando a equação acima, vem:

(25m² + 9)x² + (120m - 150m²)x + (225m² - 360m - 81) = 0

Note que temos uma equação do segundo grau na variável "x".

Sendo a reta tangente à elipse, tem-se que o discriminante da última equação corresponde a zero.

Deste modo:

∆ = 0 → (120m - 150m²)² - (4)(25m² + 9)(225m² - 360m - 81) = 0

Resolvendo a equação encontra-se m = - 9/20.

Voltando na expressão y = m(x - 3) + 2,4, tem-se que a reta procurada é dada por:

y = (- 9/20)(x - 3) + 2,4 → 20y + 9x = 75 (Gabarito)

Resolução 2:

Seja a elipse λ: 9x² + 25y² = 225. Derivando implicitamente a equação da elipse:

(9x² + 25y²)' = (225)' → 18x + 50yy' = 0 → y' = (-0,36x)/y

A equação y' = (-0,36x)/y corresponde à expressão da inclinação da reta tangente.

Sendo a reta tangente no ponto P, vem:

y' = (-0,36.3) / (2,4) → y' = - 9/20.

A reta tangente é dada por y = y'(x - x_P) + y_P.

Logo:

y = (- 9/20)(x - 3) + 2,4 → 20y + 9x = 75 (Gabarito)

Representação gráfica:

Nota¹: o y' da primeira resolução nada tem a ver com o y' da segunda resolução. O y' da segunda resolução indica uma derivada.

Nota²: não há incômodo algum. Todos os posts do fórum podem ser abertos novamente.

por DaoSeek Dom 19 Mar 2023, 19:15

Outra ideia é usar o seguinte fato geométrico:
A tangente a uma elipse forma ângulos iguais com os raios focais. Ou seja, é uma das bissetrizes das retas ligando P aos focos.

Reta Tangente - Elipse TSGUrrgQ6sMAAAAASUVORK5CYII=

Reta Tangente - Elipse TSGUrrgQ6sMAAAAASUVORK5CYII=

Para a elipse da questão, sejam F=(-4,0) e G = (4,0) seus focos e r a reta procurada. Sabendo que r é bissetriz de PF e PG, podemos proceder de várias formas pra obter a equação de r. Pra essa questão em particular, todas soluções que encontrei a partir dessa ideia dão mais conta do que usando cálculo.

Via Teorema da Bissetriz Externa.
Sendo A = (a,0) a interseção de r com o eixo x, podemos usar o teorema da bissetriz externa no triangulo PFG:
\( \dfrac{PF}{FA} =\dfrac{PG}{GA} \implies \dfrac{PF}{a+4} =\dfrac{PG}{a-4}\)
Fazendo as contas obtemos \(PF= \dfrac{37}5\) e \(PG = \dfrac{13}5\) e da equação acima encontramos \(a = \dfrac{25}3\). Com isso segue que r possui equação \(9x+20y=75\).

Usando vetores.
O vetor \( \vec v = \dfrac{\vec{FP}}{PF}+ \dfrac{\vec{GP}}{PG}\) é perpendicular a reta r. Calculando temos :

\(\left\{ \begin{array}{l}
\vec{FP}= \left(7, \dfrac {12}5\right) \\
\vec{GP} = \left(-1, \dfrac{12}5 \right)
\end{array} \right. \implies \vec v = \dfrac{30}{37 \cdot 13} (9, 20) \)

Portanto, r tem equação da forma \(9x+20y = c\). Usando que P está em r, encontramos c = 75.

Com a fórmula da equação da bissetriz.
A equação da reta PF é \(12x - 35y+48 = 0\) e a equação de PG é \(12x + 5y - 48 = 0\). Como r é bissetriz sua equação é:

\( \dfrac{ 12x -35x + 48}{\sqrt{ 12^2 + 35^2}} = \dfrac{12x + 5y - 48}{\sqrt{12^2 + 5^2}} \implies 9x + 20y = 75\)

por **Giovana Martins** Dom 19 Mar 2023, 21:21

DaoSeek escreveu:Outra ideia é usar o seguinte fato geométrico:
A tangente a uma elipse forma ângulos iguais com os raios focais. Ou seja, é uma das bissetrizes das retas ligando P aos focos.

Para a elipse da questão, sejam F=(-4,0) e G = (4,0) seus focos e r a reta procurada. Sabendo que r é bissetriz de PF e PG, podemos proceder de várias formas pra obter a equação de r. Pra essa questão em particular, todas soluções que encontrei a partir dessa ideia dão mais conta do que usando cálculo.

Via Teorema da Bissetriz Externa.
Sendo A = (a,0) a interseção de r com o eixo x, podemos usar o teorema da bissetriz externa no triangulo PFG:
\( \dfrac{PF}{FA} =\dfrac{PG}{GA} \implies \dfrac{PF}{a+4} =\dfrac{PG}{a-4}\)
Fazendo as contas obtemos \(PF= \dfrac{37}5\) e \(PG = \dfrac{13}5\) e da equação acima encontramos \(a = \dfrac{25}3\). Com isso segue que r possui equação \(9x+20y=75\).

Usando vetores.
O vetor \( \vec v = \dfrac{\vec{FP}}{PF}+ \dfrac{\vec{GP}}{PG}\) é perpendicular a reta r. Calculando temos :

\(\left\{ \begin{array}{l}
\vec{FP}= \left(7, \dfrac {12}5\right) \\
\vec{GP} = \left(-1, \dfrac{12}5 \right)
\end{array} \right. \implies \vec v = \dfrac{30}{37 \cdot 13} (9, 20) \)

Portanto, r tem equação da forma \(9x+20y = c\). Usando que P está em r, encontramos c = 75.

Com a fórmula da equação da bissetriz.
A equação da reta PF é \(12x - 35y+48 = 0\) e a equação de PG é \(12x + 5y - 48 = 0\). Como r é bissetriz sua equação é:

\( \dfrac{ 12x -35x + 48}{\sqrt{ 12^2 + 35^2}} = \dfrac{12x + 5y - 48}{\sqrt{12^2 + 5^2}} \implies 9x + 20y = 75\)