Divisibilidade

Por favor, alguém poderia me ajudar?

Prove que 333 "elevado à" 555 + 555³³³ é múltiplo de 97.

Obs: Possuo conhecimento em congruências lineares (se for últil)! :geek:

Obrigada!

555^333 + 333^555 e multiplo de 3*19
>
> o que equivale a provar que
>
> 555^333 + 333^555 e multiplo de 3
> e
> 555^333 + 333^555 e multiplo de 19
>
> A parte 1 é quase óbvia: se 3 divide K entao 3
> divide
> k^N com N natural
>
> A segunda da mais trabalho...
>
> 555=19k+4, 333=19l+10
>
> 555^333=(19k+4)^333=...(tô na priga de abrir o
> binomio
> de Newton, mas so o ultimo termo e importante)...
>
> 555^333=19K+4^333,
>
> e analogamente,
>
> 333^555=19L+10^555.
>
> BAsta ver se tem como 4^333+10^555 ser multiplo de
> 19

Agora voce pode demonstrar, na porrada, que x^18-1 e
multiplo de 19 sempre que x nao for multiplo de 19
(teorema de Euler-Fermat...).

Tambem da para demonstrar que x^(18k+l)-x^l e
multiplo
de 19 sempre que x nao o for.

Assim, esta coisinha fofa equivale a provar que

4^333+10^555=2^555*5^555+2^666=2^555(5^555+2^111) e
multiplo de 19.
Como 2^555 nao e multiplo de 19, falta provar a
parte
que sobrou:
(5^555+2^111)=(5^(18X+15)+(2^(18Y+3))) e multiplo de
19, ou

5^15+2^3 e multiplo de 19. essa foi uma explicaçao que eu encontrei!