Divisibilidade

Os números a e b são tais que o numero b² + (b + 1)² + (b + 2)² + ... + (b + a)² - 3 é multiplo de 5. Se a + b é impar, qual é o ultimo digito de a + b ?

Spoiler:

a + b = impar

par + par = par
impar + impar = par
par + impar = impar


Assim,

1) a = par ; b = ímpar
2) a = ímpar; b = par


Caso 1:


b² = ímpar
(b² + 1)² = par
...

(b + a)² = impar

--------

Soma dos números: número ímpar

-3

Soma irá ser um número par.


Assim, se o número for par e é múltiplo de 5.
Então, é facil ver que o último algarismo da soma será zero.



Agora observe bem isso:


b² + (b + 1)² + (b + 2)² + ... + (b + a)² - 3 = ...0
b² + (b + 1)² + (b + 2)² + ... + (b + a)² = ...3

Como b² + (b + 1)² + (b + 2)² + ... (antes de b + a) é par, então, o último algarismo deles poderá ser zero.


Assim, é fácil ver que:


a + b = 3


Acho que é isso.

Abraço

Beleza luiseduardo! análise competente.

Vlw luiseduardo!

Ontem, eu consegui fazer de outro jeito, so que um pouco mais trabalhoso, mas mesmo assim vou postar aqui:

b² + (b + 1)² + (b + 2)² + ... + (b + a)² - 3 = 5k

b² + (b² + 2b + 1) + (b² + 4b + 4) + ... + (b² + 2ab + a²) - 3 = 5k

(a+1)b² + 2b( 1 + 2 + 3 + 4 + ... + a) + 1 + 2² + 3² + ... + a² - 3 = 5k

(a + 1)(b² + ab + a(2a +1)/6) - 3 = 5k

se: (a + b) é impar:

a é impar e b é par ou a é par e b é impar.

se a é par(final: 0,2,4,6,8 ):
p/ a = ...0

(0 + 1)(b² + 0b + 0(2*0 +1)/6) - 3 = 5k
b² - 3 = 5k

logo como b é impar, teria que terminar em 3, algo que resolveria o problema, mas como é impossivel que um quadrado perfeito tenha como algarismo das unidades o 3, não podemos considerar essa resposta.

p/ a = ...2

3b² + 6b + 5 - 3 = 5K

fazendo os valores em que b pode terminar vemos que essa igualdade não pode ser alcançada com b impar.

p/ a = ...4

(5)(b² + 4b + 4(2*4 +1)/6) - 3 = 5k

logo vemos que essa igualdade é impossivel( como um multiplo de 5 menos 3 pode resultar em outro multiplo de 5 ?)

p/ a = 6

7b² + 42b + 91 - 3 = 5k

testanto os valores de b vemos que para b = 7:

7*49 + 42* 7 - 88 = 5k
725 = 5k

Algo que é verdadeiro, logo:
a + b = .....(7 + 6) = ....3

Cumprimentos, Victor M.

Numa prova de olimpíada você perderia bastante tempo com isso. Aproveitando isso gostaria de explicar melhor uma parte minha que talvez não tenha ficado claro:

"Como b² + (b + 1)² + (b + 2)² + ... (antes de b + a) é par, então, o último algarismo deles poderá ser zero."

Quando eu disse que poderia ser zero eu errei, pois é necessário ser zero.

Os únicos valores finais para que dê um número divisivel por 5 é se W acabar em 8 ou 3.

W = b² + (b + 1)² + (b + 2)² + ... (antes de b + a)

Entretanto, sabemos que W é par.

Logo, é claro que o número final será 3. Aí depois é só continuar.

Sua resolução está bem legal. Acho que ficou mais clara que a minha, mas não era necessário fazer que (b + 1)² = b² + 2b + 1.

Realmente como já tinha dito esse método é mais demorado. Não prescisava ter desenvolvido os binomios, mas depois ficou mais simples para criar uma formula geral que ajudou bastante nos tentativas.

Cumprimentos, Victor M.