Divisibilidade- 1

Seja b um inteiro positivo. Enuncie e prove o critério de divisibilidade por b no sistema de numeração de base b.

Quando queremos escrever um inteiro k positivo qualquer em um sistema de numeração n, podemos fazer.

(k)ₙ = as . b^(s) + a(s - 1) . b^(s - 1) + ... + a1 .  b¹ + a0 . b°

Considere a(s - 1) como o s - 1 é-simo número (o mesmo para os demais a's), onde todos a's serão menor que b.

Então escrevendo um número k na base b, temos.

(K)_b = an . b^n + a(n - 1) . b^(n - 2) + ... + a1 . b¹ + a0   b°

Note que b divide as n primeiras parcelas, mas para que ele divide b, é necessário que b dívida o número das unidades, ou seja, a0. Só que a0 é menor que b, então a0 só pode ser 0.

Logo, se b | (k)_b, então o dígito das unidades tem que ser 0.

Se o dígito das unidades é 0, ou seja, a0 = 0, então:

(k)_b = an . b^n + a(n - 1) . b^(n - 1) + ... + a1 . b¹ + 0

Note que b dividirá todas as parcelas, logo, se o dígito das unidades de um inteiro k na base b é 0, então b divide k.

Nosso critério de divisibilidade fica.

b divide (k)_b, se, e somente se, o dígito das unidades de (k)_b é 0.

Oi Bom dia

Adorei a sua demonstração. Vc a fez parecer super simples. Muito obrigada.