Demonstração: Método de Redução ao Absurdo

Como posso provar, usando o "método de redução ao absurdo" os seguintes exercícios:

1º) Não existem soluções inteiras positivas para equação x²-y²=10.
2º) Não existem soluções racionais para a equação x^5+x^4+x³+x²+x+1=0.
3º) Dados a, b, c números inteiros. Mostre que se a não divide bc, então a não divide b.

Sem gabarito para os três exercícios.

1) Sejam x e y inteiros positivos, x > y , a solução de:

x² - y² = 10

Então:

(x + y)(x - y) = 5.2 = 10.1

x + y = 5

x - y = 2
======= +

2x = 7

x = 7/2 = 3,5

y = 1,5

--> ABSURDO, já que x e y são inteiros positivos !

x + y = 10

x - y = 1
======= +

2x = 11

x = 11/2 = 5,5

y = 4,5

--> ABSURDO, já que x e y são inteiros positivos !

Logo, por contradição, reductio ad absurdum, x e y não são inteiros positivos. ■

2) x^5+x^4+x³+x²+x+1=0

Para x ≠ 1:

x^5+x^4+x³+x²+x+1 = (x^6 -1) / (x-1)

(x^6 -1) / (x-1) = 0

x^6 -1 = 0

x^6 = 1

x = 1 --> ABSURDO CONTRADITÓRIO, pois x ≠ 1

Rihan, muito obrigado! Contudo, não entendi o porquê do segundo membro da equação do exercício 2) você ter igualado a:
(x^6 -1) / (x-1).
Claro que, depois, compreendi você ter equacionado os valores acima a 0.

Porém, no lugar daqueles tais, eu "livremente" poderia ter toda equação (da dúvida), de modo hipotético, igual a : x+1/x-1, condicionado x ≠ 1, e , consequentemente igualando como você fez, a 0 para assim convergir no absurdo (de ter x = 1)?

No que minha hipótese ("x+1/x-1, com x ≠ 1") diverge da tua verdade, sim, além do "x^6", pois, não poderia ter adotado outros valores?

Espero não estar pedindo demais.

Toddynhuu escreveu:Rihan, muito obrigado! Contudo, não entendi o porquê do segundo membro da equação do exercício 2) você ter igualado a:
(x^6 -1) / (x-1).
Claro que, depois, compreendi você ter equacionado os valores acima a 0.

Porém, no lugar daqueles tais, eu "livremente" poderia ter toda equação (da dúvida), de modo hipotético, igual a : x+1/x-1, condicionado x ≠ 1, e , consequentemente igualando como você fez, a 0 para assim convergir no absurdo (de ter x = 1)?

No que minha hipótese ("x+1/x-1, com x ≠ 1") diverge da tua verdade, sim, além do "x^6", pois, não poderia ter adotado outros valores?

Espero não estar pedindo demais.

De modo algum parceiro Toddynhuu !

Vamos Lá !

Podemos pensar num produto notável ( ou quociente notável...):

Para qualquer x :

(x - 1)(x² + x + 1) ≡ x³ + x² + x - x² - x -1 ≡ x³ - 1

Para qualquer x ≠ 1 :

(x² + x + 1) ≡ (x³ - 1) / (x - 1)

A extensão para o expoente "n" é imediata:

Para qualquer x ≠ 1 :

xⁿˉ¹ + ... + x³ + x² + 1 ≡ (xⁿ - 1) / (x - 1)

Também podemos deduzir olhando a expressão como a "Soma de uma PG" de razão x e primeiro termo 1" :

Para qualquer x ≠ 1 :

Sn = 1 + x + x² + ... xⁿˉ¹ = (xⁿ - 1) / (x - 1)

O que fiz, então, foi substituir o polinômio por seu idêntico, para qualquer x ≠ 1.

Ficamos com:

Existe x racional positivo para P(x) = 0 ???

Supondo existir algum racional positivo x ≠ 1:

Substituímos P(x) por seu idêntico:

P(x) ≡ Q(x)

Resolvemos a equação:

Q(x) = 0 ?

x^6 = 1 ?

Das 6 raízes, fora os outros 2 complexos e seus conjugados, só existem mais duas outras raízes reais:

x = 1 ou x = -1

Dentro dos racionais positivos somente temos a raíz x = 1 , que contradiz nossa premissa.

Após essa premissa, todas as proposições são verdadeiras, logo, a única coisa falsa é a hipótese de que existe algum racional positivo que torne nulo o polinômio.

Espero ter sido mais claro.

Saudações notáveis !

Putz... Não acredito! Hehe

Depois do exemplo análogo qual você fizera, Rihan... Agora sim, sei porque não estava entendendo, por preguiça, não fiz a distributiva, pois achava que só "batendo o olho" encontraria a obviedade " x^5+x^4+x³+x²+x+1 = (x^6 -1) / (x-1) ".
Enfim, multiplicando ambos os lados da equação acima por (x-1), consequentemente decorrerá de obter x^6 - 1 = X^6 -1 . Qual, era a parte aonde não batia compreensão.

Explicação elegante a tua!

Novamente, muito obrigado! Que paciência homérica, heim!

Tinha um bom tempo que não ouvia essa frase homérica : "paciência homérica" !!! !!!

Um abraço e saudações homéricas !

não entendi no segundo caso porque você esta supondo que x ≠ 1 estou tentando resolver por fatoração polinomial e não estou conseguindo.
Ajuda ae OBG

cesar_messias escreveu:não entendi no segundo caso porque você esta supondo que x ≠ 1 estou tentando resolver por fatoração polinomial e não estou conseguindo.
Ajuda ae OBG

Não existem soluções racionais para a equação:

x^5+x^4+x³+x²+x+1=0.

Creio que está tudo escrito nos meus posts...

Mas, como você não compreendeu, vou mudar a explicação.

Vams lá.

Vamos testar alguns valores:


P(x) ≡ x^5+x^4+x³+x²+x+1

P(x) = 0 ?

P(0) = 1 --> 0 não é raiz.

P(1) = 6 --> 1 não é raiz.

...


Para não ficar a vida toda testando valores, vamos pensar...

Sei que:

(x-1)( x^5 + x^4 + x³ + x² + x + 1)

É idêntico a:

x^6 - 1

Simbolicamente, fica assim:

(x-1)( x^5 + x^4 + x³ + x² + x + 1) ≡ x^6 - 1


Para ficarmos com o nosso P(x), precisamos dividir ambos os lados por (x-1).

MAS, para fazermos isso, precisamos assegurar que (x-1) não seja nulo, pois NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.

Simbolizamos a nossa condição de restrição assim:

Para:

x -1 ≠ 0

Então:

x ≠ 1

Então:

( x^5 + x^4 + x³ + x² + x + 1) = (x^6 - 1) / (x -1)

É sempre verdadeiro.

Então:

( x^5 + x^4 + x³ + x² + x + 1) ≡ (x^6 - 1) / (x -1)

Como já verificamos que 1 não é raíz, tudo bem, vamos continuar.

Vamos trabalhar com a forma mais simples do P(x), a da direita, que, conforme nossas restrições, só vale para x≠1.

Resolvendo a equação:

(x^6 - 1) / (x -1) = 0 ?

Multiplicamos por (x-1), e podemos, pois o impusemos diferente de 0, resultando a equação:

(x^6 - 1) = 0 ?

Adicionamos 1 a ambos os lados:

x^6 = 1 ?

Quando que um número racional elevado a sexta resulta em 1 ?

A única solução Real ( e Racional... ) que conhecemos é o 1.

Mas, então, chegamos a um absurdo, pois todo nosso raciocínio partiu da condição x diferente de 1.

O que afirmamos é que:

Para todo valor de "x" diferente de "1", a única solução real possível é "1".

Como isso é um absurdo claro, concluímos que não existe qualquer valor diferente de "1" que faça ser vedadeira a proposição :

x^5+x^4+x³+x²+x+1=0

Como verificamos que o "1" não é raíz, podemos concluir que:

Não há raízes Reais e, obviamente, Racionais para P(x).

Muito obrigado agora eu entendi, porem gostaria de saber se essa técnica de multiplicar por (x-1) tem algum nome , teoria especifica ou foi apenas dedução?

Grato bom trabalho.

Não é uma técnica.

É um produto que ocorre com muita freqüência nas calculeiras.

Ocorre tanto que é notado.

E então apelididado de PRODUTO NOTÁVEL.

Alguns deles você deve conhecer:

1) Produto de Duas Somas Iguais ( ou Diferenças):

(x + a)(x + a) ≡ (x + a)² ≡ x² + 2ax + a²

2) Produto De Uma Soma por Uma Diferença:

(x + a)(x - a) ≡ x² - a²

3) Potência de Uma Soma ("Binômio de Newton"):

(x + a)ⁿ ≡ ...

E outros mais.

Agora, conhece mais esse:

(x - 1)(xⁿˉ¹ + ... + x³ + x² + x + 1) ≡ (xⁿ - 1)

Para x ≠ 1, também é válido o "Quociente Notável":

(xⁿ - 1)/(x - 1) ≡ xⁿˉ¹ + ... + x³ + x² + x + 1


Saudações Notáveis !