Parábolas

Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura h de mesma altura d (ver figura), assuma a forma de uma parábola.

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Suponha também que:
1) a altura mínima do fio ao solo seja 2;
2) a altura do fio sobre um ponto do solo que dista d/4 de uma das colunas seja igual a h/2.

Se h = 3d/8, então d vale:

a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
e) 22

Resposta: Alternativa b)

Obs.: O desenho está meio desproporcional, não levem em conta a forma do desenho. É como se a parábola fosse mais fechada.

Trace um sistema xOy com origem no canto inferior esquerdo

Equação da parábola -----> y = ax² + bx + c

Para x = 0 -----> y = h ----> c = h ----> c = 3d/8

Para x = d/4 ----> y = h/2 ----> h/2 = a*(d/4)² + b*(d/4) + 3d/8 ----> Calcule e simplifique

Para x = d/2 ----> y = 2 ----> 2 = a*(d/2)² + b*d/2) + 3d²/4 -----> Idem

xV = - b/2a ----> d/2 = - b/2a ----> - b/a = d ----> b = - ad

yV = - ∆/4a ----> 2 = (4ac - b²)/4a ----> Calcule e simplifique

Agora, resolva o sistema de equações obtido acima

Muito obrigado Elcioschin. A conta foi longa, mas consegui chegar no resultado. O segredo, é mesmo encontrar o valor de h em função de d, e substituir na relação dada pelo problema (h=3d/8 )

Como tive uma certa dificuldade em conseguir o "h" em função de "d", e como o senhor foi legal e me ajudou a resolver, resolvi colocar toda a resolução abaixo, para ajudar quem queira ver toda a resolução:

Resolução completa:

Lembrando que c=3d/8 (como já apontado pelo Elcioschin)

I) Para x=(d/4) : y=h/2
(h/2) = a(d/4)² + b(d/4) + (3d/8 )
8h = ad² + 4bd + 6d

II) Para x=(d/2) : y=2
2 = a(d/2)² + b(d/2) + 3d/8
16 = 2ad² + 4bd + 3d²;

III) Xv = -b/2a = d/2
b = -ad

IV) yv = -∆/4a
2 = (4ac - b²)/4a
4ac - b² = 8a;

De IV), vem:
-b² = 8a - 4ac
b² = 4ac - 8a
a²d² = 4ac - 8a
a(ad²) = 4ac - 8a
ad² = 4c - 8

Fazendo I - II, vem:
8h - 16 = -ad² + 3d
Substituindo ad² achado na relação anterior:
8h - 16 = -4c + 8 + 3d
8h = -4c + 24 + 3d
8h = -4(3d/8 ) + 24 + 3d
8h = -12d/8 + 24 + 3d
64h = -12d + 192 + 24d
64h = 12d + 192
h = (3d + 48 )/16

Finalmente, substituindo na relação dada pelo exercício:

h = 3d/8
(3d + 48)/16 = 3d/8
d = 16

Thvilaça, obrigado por mostrar a resolução completa. Seguindo a ideia do Élcio, mostro uma outra forma de resolução.



y' = a*(x' - x₁)*(x' - x₂) -----> y' = a(x' + d/2)*(x' - d/2) -----> y' = a(x'² - d²/4) ...........(I)

p/ x'=0 ⇒ y' = -(h-2) ----> y' = 2 - 3d/8 ----> y' = (16-3d)/8
indo na (I),
(16-3d)/8 = -a.d²/4 -----> a = (3d-16)/2d² ...........(II)

p/ x'=-d/4 ⇒ y' =-(h - h/2) ----->

indo com isso e mais a (II) na (I), vem:

Ah, legal, obrigado pela resolução alternativa, Medeiros Jedi!

No caso, vc colocou o vértice da parábola no próprio eixo y, o que diminuiu em muito o sistema pra resolver (já que acaba tirando o "b" da forma y = ax² + bx + c) . Ficou mais curta e fácil de resolver, o que é bastante conveniente no caso do vestibular, por exemplo, onde há tempo limitado pra cada questão, e vc tem que ser rápido.

Valeu, gostei mesmo dessa resolução!

Thvilaça,
e podia ter simplificado ainda mais; bastaria colocar a origem dos eixos no vértice da parábola, ficaria ----> y = ax².
O resto do raciocínio continua igual.
Abs.

Só eu que pensei que o 3d/8 fosse número misto? (É que na questão aparece o 3 grande do lado do d/8, como se fosse um número misto). Como não fazer essa confusão?

Eu nunca vi número misto com incógnitas (podem até existir).

A responsabilidade é do enunciado que não deve dar margem a mais de uma interpretação.