Valores de m e n para o sistema ?

por **alissonsep** Sáb 12 maio 2012, 00:40

Determine os valores de m e n para os quais o sistema possui solução:

$\left\{\begin{matrix} 2x-y+3z=1 & & \\ x+2y-z=4& & \\ 3x+y+mz=n& & \end{matrix}\right.$

Agradeço a quem puder me dar uma ajuda aqui.

Obrigado.

Ps: Não tenho o gabarito.

por **PedroX** Sáb 12 maio 2012, 12:51

Subtrai o III do I:

IV) x + 2y + mz - 3z = n-1

Subtrai o IV do II:

V) mz - 2z + 5 = n

Substitui n no III:

VI) y = - 2z - 3x + 5

Substitui no I)

VII) z = 6 - 5x

Substitui no II:

VIII) y = 5 - 3x

Agora substituimos y, n e z no III:

5x = 6
x = 1,2

y = 5 - 3x
y = 1,4

z = 6 - 5x
z = 0

Logo:
mz - 2z + 5 = n
n = 5

m(z-2) = 0

Logo, m = 0 ou z = 2, mas z não é 2.
m = 0

Agora basta testar o sistema, dando os valores encontrados:
3,6 + 1,4 = 5 (V)
2,4 - 1,4 = 1 (V)
1,2 + 2,8 = 4 (V)

Logo, m=0 e n=5.

por **abelardo** Sáb 12 maio 2012, 18:30

$\\ \left\{\begin{matrix} 2x-y+3z=1\\ x+2y-z=4\\ 3x+y+mz=n \end{matrix}\right. \\\\\\ D= \begin{vmatrix} 2 & -1 &3 \\ 1& 2 & -1\\ 3& 1 & m \end{vmatrix}=5m-10$

Temos duas possibilidades para o sistema ser solucionável, pode ser SPD e SPI.

Para o sistema ser possível e determinado (SPD):

Spoiler:

(Para ser um SPD, m deve ser diferente de dois e e n pode assumir qualquer valor)

Para o sistema ser possível e indeterminado (SPI):

Spoiler:

(Veja que as duas últimas equações do sistema escalonado se forem iguais teremos um sistema com três incógnitas e duas equações)

$\\ \text{SPD} \ \ \ \ \to \ \ \ \ m \neq 2 \ \ n \in \mathbb{R} \\ \text{SPI} \ \ \ \ \to \ \ \ \ m = 2 \ \ n =5$

Acho que seja isso. Estou estudando esse assunto a poucos dias e então não tenho certeza. :pirat:

por **alissonsep** Sáb 12 maio 2012, 21:16

Eu acho que deve ser isso também amigo abelardo, pois plotei o sistema no Microsoft Mathematics e ele me deu os valores para x, y e z, porém todos com a condição de m≠ 2 de forma que nas respostas de x, y e z, estava m-2 no denominador creio que por isso m≠ 2.

Agradeço amigo, ajudou bastante também.

por JoyceRuas Ter 03 Dez 2013, 10:43

:aac:
O sistema é indeterminado para quando m = 3, n= 11/2 e impossível quando m= 3 e n ≠ 11/2.

Ps.: O problema é chegar nesse resultado.

por **Elcioschin** Ter 03 Dez 2013, 11:18

Joyce

A solução do Abelardo está correta
Assim, a solução que você apontou está errada.
Porque então você acha que ela está certa, se não sabe como chegar nela?