Para que valores de m e n as retas mx+8y+n=0

Para que valores de m e n as retas mx+8y+n=0 e 2x+my-1=0:
a) são paralelas não coincidentes?
b) são coincidentes?
c) são perpendiculares?

Gabarito:

OliviaTate escreveu:Para que valores de m e n as retas mx+8y+n=0 e 2x+my-1=0:
a) são paralelas não coincidentes?
b) são coincidentes?
c) são perpendiculares?

Gabarito:

Olá Olívia!

    Dadas 2 retas no plano (vamos chama-las de reta r e reta s), de equações:

        r: ax + by = k , com b ≠ 0
        s: cx + dy = k', com d ≠ 0

    _________________________
    Note que b e d não nulos é condição para que tenhamos coeficiente angular (t) nas retas, já que t(r) = −a/b e t(s) = −c/d.
    _________________________

    Se r // s, então 

        −a/b = −c/d → a/b = c/d → a/b = δ∙a/δ∙b → ∃ δ ≠ 0 tal que c = δa e d = δb


    Isto é, a e c são múltiplos, assim como b e d, e com o mesmo fator de proporcionalidade δ (delta).

    Reescrevendo as equações de r e s:

        r: ax + by = k
        s: δax + δby = k'

    Note que se o k' também for múltiplo de k, ou seja, se k' = δk, então todo ponto que satisfaz a equação de r também satisfará a equação de s. Assim, se k e k' também forem múltiplos, teremos que r = s. Agora, se k' ≠ δk, então r // s e r ≠ s.

    Temos, então, as equações dadas no enunciado:

        r: mx + 8y + n = 0
        s: 2x + my − 1 = 0

item a)

    Para que r // s e r ≠ s:

        ∃δ não nulo tal que δ∙m = 2 e δ∙8 = m
        Assim, δ = 2/m e δ = m/8

        Segue que

            2/m = m/8 → m = √16 → m = 4 ou m = −4


            Para que sejam paralelas distintas, temos que ter 1 ≠ δ∙(−n) 
            Pois da equação de s, temos 2x + my = 1, e da equação de r, temos mx + 8y = −n.
            Como vimos acima, se esse 1 e o −n forem múltiplos, então r = s.

            Logo, 1 ≠ −δn → n ≠ (−1)/δ


            Então, se m = 4, δ = 2/4 = 1/2 → n ≠ −2
                      se m = −4, δ = 2/(−4) = −1/2 → n ≠ 2

        Portanto, para que r // s e r ≠ s, devemos ter m = 4 e n ≠ −2 ou m = −4 e n ≠2



item b)

        Para que sejam coincidentes, a condição do paralelismo deve se manter, com a ressalva de que agora temos que ter n = (−1)/δ.

        Então, para que r // s e r = s, devemos ter m = 4 e n = −2 ou m = −4 e n = 2.



item c) 
            Para que duas retas sejam perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve resultar em −1.
            Assim,

                 −m/8 ∙ −2/m = −1 → 2m/8m = −1 → 2m = −8m → m = −4m ↔ m = 0
            
            Logo, para qualquer que seja o valor de n, r e s serão perpendiculares se, e somente se, m = 0.

            Portanto, a solução é m = 0 e n ∈ ℝ.




Esperto ter ajudado!



Abraços!