Soma em equação exponencial - do simples ao complexo

Resolver algebricamente a equação 8^x - 7^x = 1. Claramente percebemos que x = 1 soluciona a equação, a representação gráfica nos leva obviamente a mesma solução. A questão refere-se à resolução algébrica da equação.

Podemos raciocinar da seguinte forma:
8^x-1=7^x --> (8-1).(8^{x-1}+8^{x-2}+...+8^1+1)=7^x -->
7(8^{x-1}+8^{x-2}+...+8^1+1)=7^x, dessa forma, claramente se x=1 a igualdade é verdadeira --> x=1 é uma solução da equação! Se x>1, como
8^k≡1 (mod 7) para todo k inteiro positivo -->
8^{x-1}+8^{x-2}+...+8^1+1≡1.(x-1)≡x-1≡0 (mod 7^{x-1}), como
7 é primo --> 7^{x-1}=7.7. ... .7 (x-1) vezes o fator 7 -->
deveríamos ter então x-1=7^{x-1}, entretanto essa equação não possui solução pois a reta y=x-1 e y=7^{x-1} possui inclinações completamente diferentes --> logo x=1 é a única solução inteira da equação inicial.
Pode ser resolvido também usando algoritmo chinês dos restos.

De fato, a resolução é interessante, mas note que precisamos inferir sobre a raiz 1, além de precisarmos recorrer à análise gráfica da funções y = x -1 e y = 7^(x -1). Com essa linha de raciocínio, basta a análise gráfica de y = 8^(x -1) e y = 1 - 7^(x -1) e a solução será bem mais prática. Na realidade busco uma solução algébrica real, em que aplicando-se as operações inversas consigamos "isolar" o x.
Mesmo assim, agradeço a atenção.

8^x - 7^x = 1

8^x = 7^x + 1

(7+1)^x = 7^x + 1^x

7^x + .... + 1^x = 7^x + 1^x

Como os termos omitidos são aditivos e não iram se cancelar, a única solução é que não existam, então x=1.