Ime 2012 Number Theory

Sejam r e s ∈Z (inteiro). Prove que (2r + 3s) é múltiplo de 17 se e somente se (9r + 5s) é múltiplo de 17.

Olá, queria que conferissem minha resolução pra saber se ela está certa?!

1- Provando a ida

Hipótese: 2r + 3s é múltiplo de 17 -> 9r + 5s é múltiplo de 17

2r + 3s = 17k (k∈Z)

Multiplicando os 2 lados por 13:

26r + 39s = 17k*13

9r + 5s + (17r + 34s) = 17k*13

9r + 5s + 17(r + 2s) = 17k*13

9r + 5s = 17k *13 - 17(r + 2s)

9r + 5s= 17k(13 - r - 2s)

(13 - r - 2s) é inteiro assim como k, portanto, k(13 - r - 2s) também é inteiro e logo (9r + 5s) é múltiplo de 17.

Volta:

Hipótese: 9r + 5s é múltiplo de 17 -> 2r + 3s é múltiplo de 17

9r + 5s = 17k

Multiplicando os dois lados por 4:

36r + 20s = 17k*4

2r + 3s + (34r + 17s) = 17k*4

2r + 3s = 17k(4 - 2r - s)

Pelo mesmo motivo da ida, conclui-se que 2r + 3s é multiplo de 17.


Portanto, está provado!


Chequem aí pessoal por favor!

Grato.

Parece estar certinho sim..

Ok Grato!!! Eu achei estranho porque tava estudando física aí me deu essa ideia de resolução do nada kkkk!