Resolver a equação por soma e produto

por puiff Seg 26 Mar 2012, 16:52

$x^{2}-\left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{ab} \right )x+1=0$

(ab)x²-(a²+b²)x+ab=0
abx²-(a²x+b²x)+ab=0
abx²-a²x-b²x+ab=0
2abx²-a²x-b²x=0

x'+x"=-b/a > a²x+b²x/2abx²

travei aí, não sei se estou errando em alguma coisa, não sei se toda aquela parte em vermelho é o b.

por **Agente Esteves** Seg 26 Mar 2012, 17:00

Até onde você fez está certo, exceto pela última linha.

Na penúltima linha está escrito:
abx² - a²x - b²x + ab = 0
E na última você escreveu:
2abx² - a²x - b²x = 0

Não entendi de onde saiu esse 2. Para mim, continuaria a mesma coisa que estava escrita na penúltima linha. Mas aí a soma dos dois termos seria a mesma do que se não tivesse fatorado nada, já que o a agora é ab e o b agora é - a² - b²...

x' + x'' = (a² + b²) / ab
x' * x'' = 1 -> x' = 1/x''
1 + x''² = (a² + b²)x'' / ab
(E aqui a gente tem uma redundância... =/)

por puiff Seg 26 Mar 2012, 17:03

Aquele 2 surgiu pq eu somei aquele ab do final com o abx². Não podia fazer isso?

por puiff Seg 26 Mar 2012, 17:07

A resposta tem q ser a/b, b/a

por **Agente Esteves** Seg 26 Mar 2012, 17:31

Não, não, puiff, só poderia somar caso os dois fossem iguais.
Estou tentando fazer aqui, mas está complicado. =/

por puiff Seg 26 Mar 2012, 17:34

Também estou tentando fazer, agora entendi pq não pode somar. '-'

por roodrigoooh Seg 26 Mar 2012, 17:34

puiff tem certeza da resposta ?

aqui deu 2b/a e a/2b

quando chega nessa redundancia tem que resolver por bascara..
o requisito principal que é resolver por soma e produto ja foi satisfeito,
não importa como você termina a equação.

por **Agente Esteves** Seg 26 Mar 2012, 17:34

Vamos supor que x' e x'' sejam números racionais, de tal forma que:
x' = p/q
e
x'' = q/p

Por que x' é o inverso de x''? Porque x' * x'' = 1.

Então...
x' + x'' = p/q + q/p = p² + q² / pq
Só que...
p² + q² / pq = a² + b² / ab

Então temos que p = a e q = b.

Logo, x' = a/b e x'' = b/a.

Foi! Aleluia!

Espero ter ajudado. =P