Geometria Plana - (UFPE) 2000 (?)

Na ilustração abaixo DEF (GHI respectivamente), são os triângulos tendo por vértices os pontos onde as circunferências inscritas nos triângulos ABC (DEF respectivamente) tangenciam o triângulo. Se o ângulo BAC mede 37º , em quantos minutos a medida do ângulo HGI excede 53º ?

Vide imagem: https://2img.net/r/ihimizer/img27/49/semttuloeea.png

Mestres, esse aí não sei nem de onde começa! Qualquer ajuda agradeço desde já! abração à todos!

Up!

Dica: BÂC=DÊC

Interessante, Raimundo.
Estou sendo traído pelo golpe de vista ou ocorre a transformação de um triângulo escaleno (ABC) em um isósceles (DEF) e, após, em um equilátero (GHI)?

Entretanto, não concordo com a "dica" -- BÂC=DÊC -- pois não há motivos para supor DE // AB.

Olá Medeiros ,

Veja o que eu pensei.

Bom dia, Raimundo.
Como você, também vi a formação dos triângulos isósceles a partir dos vértices; no entanto não acho que os arcos sejam iguais, para podermos falar em ângulos de segmento iguais.

Antes de dormir, de cabeça, estive considerando a bissetriz de um triângulo externo como a mediatriz do triângulo imediatamente interno. Talvez por este caminho consigamos chegar no valor de H^GI. Preciso parar e fazer o papel.

Boa noite, Raimundo!
De início achei que faltavam dados e a questão não teria solução; mas tem! Munido de paciência, resolvi abordar de forma genérica pelo "método da cebola".

Nota-se que o incentro do triângulo externo é o circuncentro do triângulo interno; portanto a bissetriz do externo é a mediatriz do interno, ou seja, é perpendcular aos lados do triângulo imediatamente interno.

Em vez de desenhar as circunferências, vou desenhar apenas seus centros e os raios no ponto de tangência -- é o que nos interessa e a figura fica mais leve.



Agora, respondendo à questão:

H^GI = (180º + Â)/4 = (180º + 37º)/4 = 217º/4 = 54,25º = 54º15'

quer-se, em minutos, o quanto H^GI excede 53º:

H^GI - 53º = 54º15' - 53º00' ------> excesso = 1º15' = 75'

Olá Medeiros ,
Fui por outro caminho e encontrei  HGI = 54,25°.

1 - Concluimos que A^EF=B^DF=71,5 , então os arcos EF+DF=143 e o arco ECD=74.

2 - Se o arcdo ECD=74 , o âng. de segmento DEC=37°, e com isso confirmamos que ED é paralelo a AB ( minha dica) , que não verdade não entra na resolução.

3 -Ângulo GEI = 180-(37+71,5)=71,5 e como GEI é isósceles (pontos de tangencia), os ângulos da base medem (180-71,1)/2=54,25  (idem para o triâng. HID).

4 - Observe que G^IE=I^GE=54,25(âng. de seg.) , então os arcos IG e HI medem 54,25 . 2 =108,5.

5 - Então chegamos ao arco GH= 360-(2 . 108,5 .2 ) = 143. então o âng. de seg  F^GH =71,5.

5 Finalmente  HGI= 180-(54,25+71,5)=54,25°.

Raimundo, discordo do seguinte na sua resolução.

"1 - Concluimos que A^EF=B^DF=71,5" ---> não vejo como podemos concluir isto. Isto somente ocorre no caso particular de ∆ABC ser isósceles de base AB; e não há nada no enunciado que nos garante isso; devemos, portanto, considerar o caso genérico. A propósito, dei-me ao trabalho de imprimir o desenho original e medir os ângulos e, dentro dos limites de precisão, achei Â=37º, ^B=48º e ^C=95º -- triângulo escaleno.
Ainda, se o triâng. ABC fosse isósceles de lados AC=BC, teríamos DE//AB//GH. Mas, mesmo neste caso, H^GI=G^HI=54,25º.

Parece-me que quando você toma os ângulos de segmento o faz desconsiderando o real centro da específica circunferência em relação à qual são tomados.

Por exercício e comprovação do raciocínio, experimente fazer os ângulos [A, B, C] com, respectivamente, [40º, 60º, 80º] e veja se achas H^GI=55º.

Bom dia Medeiros,
Esquentei mais um pouco a "mufa". Procurei reproduzir a fig. com auxilio do Geogebra a mais fiel possível.
Tomei o lado AB na medida original , marquei o âng. de 37° a partir do ponto A, e com o soft do Geogebra determinei o círculo maior e os pontos de tangencias E e F . Prolonguei AE até C e liguei C ao lado AB , tangênciando o círculo no ponto D e formando o triâng. ABC,  formando os triângs. DCE e BDF(isósceles).

Se o arco EF ( menor mede 143 (âng. de segmento AEF) , então o âng. inscrito  E^DF=143/2=71,5 , e o arco EF(maior)=360-143=217.

Pelo ponto médio de EF , traçando a mediatriz GD , dividimos EF em dois arcos iguais 217/2=108,5.

Como D é ponto médio do arco EF(maior) , ligando D a E , e D  a F , formamos o triâng. isósceles EDF.

Porque o vértice G do triângulo GHI coincide com o ponto médio de EF ??
Sendo EDF isósceles  de base EF , o centro do círculo menor tem que está sobre a altura DF de EDF e o ponto de tangencia coincide com G.

O resto são as contas, que podem ser vistas na fig.

Caro Medeiros , nem temos o Gab . Você encontrou HGI=54,15 , Não constatei nd de errado na sua resolução, e encontro 54,25. Enfim estamos com uma diferença de um âng. de 01 min  (nem sei se isso é mensurável). Não se aborreça,  mais vou jogar a toalha por aqui. Abraço

Boa tarde, Raimundo.

Antes de mais nada: lisonja-me que você se preocupe com minhas observações, tomo como elogio, obrigado.

Não tenho o Geogebra instalado, portanto não posso fazer essas experiências, bem que gostaria. Quanto ao gabarito, somos nós mesmos pois ambos encontramos valor igual: 54,25º = 54º15'.

Acho muito legal essa sua abordagem pelos arcos mas entendo que neste caso não é suficiente porque conhecemos o valor de apenas um ângulo do triângulo ABC e não nos é possível descobrir o valor de um outro.

Não fui lá muito assertivo mas na sua 1ª resolução não concordei apenas com o início "ângulo B^DF=71,5º" pois isto pressupõe sabermos que o ângulo ^B do triângulo ABC é também de 37º, ou então que este triângulo é isósceles; e o enunciado não nos autoriza concluir nem um nem outro.

Quanto a esta sua segunda  apresentação, muito bem elaborada, fica dependente de que os arcos menores DF e DE tenham mesma medida. Porém isto não está garantido sempre. Temos que a bissetriz de CÂB é mediatriz de EF mas não se pode garantir que ela passe pelo ponto D -- GD é mediana com certeza, mas é necessário ainda provar que também é mediatriz. Por conseguinte, não se garante que o ponto D divida ao meio o arco maior EF.

Mas entendo que seu modo de solução é perfeitamente válido para casos particulares e -- por Euclides ou por Arquimedes! -- chegamos ao valor deste exercício.

Abraços.