(Funrio-2009) - valor máximo do produto

por Paulo Testoni Seg 12 Out 2009, 11:23

(FUNAI_Administração_Superior_2009_Funrio) Suponha que x e y denotam números reais tais que 5x+y=90. Então o valor máximo do produto x*y é:
a) 390
b) 395
c) 400
d) 405
e) 410

por **Medeiros** Seg 12 Out 2009, 19:09

5x + y = 90 -----> y = 90 - 5x

P = x*y = x(90 - 5x) = 90x - 5x²

P = f(x) é eq. de parábola com concavidade para baixo ---> tem P_máx. no vértice

P_máx. = -Delta/(4a) = -8100/-20 -----> P_máx. = 405 ---- (d)

por **aryleudo** Seg 12 Out 2009, 21:36

Questão de máximo e mínimo pode ser resolvido por derivada.
5x+y=90
y = 90 - 5x (I)

Substituindo (I) em P = x.y
P = x.(90 - 5x)
P = 90x - 5x² (II)
OBS.: Como a concavidade da parábola é voltada para baixo, então temos um valor de máximo.

Derivando (II)
P' = 90 - 10x (III)

Igualando (III) a zero
90 - 10x_MÁX = 0
-10x_MÁX = -90 (-1)
x_MÁX = 9

Substituindo o valor encontrado para "x_MÁX" em (II)
P_MÁX = 90.9 - 5.9²
P_MÁX = 810 - 405
P_MÁX = 405