Valor máximo do produto dos senos.

por **Robson Jr.** 4/12/2012, 12:14 am

Sejam θ1, θ2, ..., θn ângulos tais que:

$\small tg(\theta_1).tg(\theta_2). \ ... \ .tg(\theta_n)=1$

O valor máximo que pode assumir o produto dos senos desses ângulos é:

a) 1
b) 2^(-n/2)
c) 2^(n/2)
d) 2^(n)
e) 2^(-n)

por Luck 4/12/2012, 12:30 am

O valor máximo tgθ1.tgθ2.tgθ3....tgθn = 1 é para θ1=θ2=...θn = 45º (estou tentando lembrar um teorema que prova isso...)
logo (V2/2)(V2/2)(V2/2)...(V2/2) = 2^(-n/2)

por **Robson Jr.** 4/12/2012, 12:36 am

A graça é exatamente provar. Smile

por Luck 4/12/2012, 12:42 am

Robson Jr. escreveu:A graça é exatamente provar.

tu ja sabe a solução? acabei achando uma aqui de uma questão parecida que caiu no simulado Smile

por **Robson Jr.** 4/12/2012, 12:43 am

Sei. Acabei de perceber que não destaquei o gabarito...

Não lembro de nada parecido nos simulados, mas pode mandar.

EDIT: Já sei de que simulado você fala. Smile

por Luck 4/12/2012, 12:46 am

Robson Jr. escreveu:Sei. Acabei de perceber que não destaquei o gabarito...

Não lembro de nada parecido nos simulados, mas pode mandar.

EDIT: Já sei de que simulado você fala.

deixar os outros tentarem... to indo dormir flw :sleep:

por aprentice 4/12/2012, 12:50 am

To tentando aqui antes de ir pro Dota.
Nem vai sair, quase certeza.
É evidente que se o seno cresce o coseno deve crescer na mesma proporção de modo que o máximo vai ser onde sen(o) = cos(o) => o = pi/4, mas provar isso tá complicando.
Edit:

Solução roubada, feia e talvez até inválida:
A = sen(2o[1])sen(2o[2])...sen(2o[n]) = 2^n*sen(o[1])...sen(o[n])*cos(o[1])...cos(o[n]) => A = (2^n)B² => B² = A/2^n

max(A) = 1 já que Im(sen(o)) = [-1,1] e não existem restrições para A.
B² = 1/2^n => B = 1/2^(n/2)
Tentei de outras formas mas não saiu, espero sua solução.