O máximo produto
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O máximo produto
por Elcioschin Sáb 15 Jan 2011, 17:46
Embora simples, é um problema de vital importância para o entendimento e solução de uma série de problemas que pretendo postar em sequência.
Dado um número real N, quais as duas partes em que ele deve ser dividido para que o produto das partes seja máximo?
Dado um número real N, quais as duas partes em que ele deve ser dividido para que o produto das partes seja máximo?
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: O máximo produto
por ivomilton Sáb 15 Jan 2011, 21:03
Elcioschin escreveu:Embora simples, é um problema de vital importância para o entendimento e solução de uma série de problemas que pretendo postar em sequência.
Dado um número real N, quais as duas partes em que ele deve ser dividido para que o produto das partes seja máximo?
Bom noite, caro Elcio!
O produto de duas partes inteiras de N será máximo quando cada uma das partes for igual à metade de N.
N/2 * N/2 é máximo produto que se pode obter ao se separar N em duas partes.
Tomemos N=12 como exemplo:
1.11 = 11
2.10 = 20
3.9 = 27
4.8 = 32
5.7 = 35
6.6 = 36
A sequência continua com os fatores trocados e os respectivos produtos diminuindo...
Um abraço e um abençoado final de semana!
ivomilton- Membro de Honra
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Re: O máximo produto
por Viniciuscoelho Sáb 15 Jan 2011, 21:33
A resposta do Mestre Ivomilton esta certíssima.
T = produto de k.p
k = parte de N
p = parte de N
N = numero qualquer
k + p = N
k.p = T
k = N - p
(N - p).p = T
-p² + Np = T
T_máx = "Produto máximo" = "Y do vértice" = -d/4a = N²/4
d = delta
Para T_máx = N²/4 --> temos p = N/2 = "P do vértice" = "X do vértice" = -b/2a ;
logo k = N/2.
T = produto de k.p
k = parte de N
p = parte de N
N = numero qualquer
k + p = N
k.p = T
k = N - p
(N - p).p = T
-p² + Np = T
T_máx = "Produto máximo" = "Y do vértice" = -d/4a = N²/4
d = delta
Para T_máx = N²/4 --> temos p = N/2 = "P do vértice" = "X do vértice" = -b/2a ;
logo k = N/2.
Viniciuscoelho- Fera
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Re: O máximo produto
por Elcioschin Dom 16 Jan 2011, 16:49
Caros Ivomilton/Vinicius
Corretíssimos, como sempre
Vou mostrar outra solução:
Sejam as duas partes (N/2 - x) e (N/2 + x) onde x representa a diferença entre as duas partes
O produto P vale ----> P = (N/2 - x)*(N/2 + x) ----> P = (N/2)² - x²
Uma dedução óbvia é que P será máximo quando x = 0, isto é, quando as duas partes forem iguais.
Neste caso o valor máximo do produto vale ----> Pmáx = N²/4
Corretíssimos, como sempre
Vou mostrar outra solução:
Sejam as duas partes (N/2 - x) e (N/2 + x) onde x representa a diferença entre as duas partes
O produto P vale ----> P = (N/2 - x)*(N/2 + x) ----> P = (N/2)² - x²
Uma dedução óbvia é que P será máximo quando x = 0, isto é, quando as duas partes forem iguais.
Neste caso o valor máximo do produto vale ----> Pmáx = N²/4
Elcioschin- Grande Mestre
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