(Funrio) - máximo divisor

por Paulo Testoni Seg 12 Out 2009, 11:08

(JUCERJA_Administrador_Superior_2008_Funrio) Sabe-se que o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum entre os números "a" e "b" valem, respectivamente, 3 e 72. Sabendo-se que um dos números é um quadrado perfeito, conclui-se que a soma "a"+"b" vale:
a) 33
b) 35
c) 42
d) 58
e) 75

por **ivomilton** Seg 12 Out 2009, 12:31

Robalo escreveu:(JUCERJA_Administrador_Superior_2008_Funrio) Sabe-se que o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum entre os números "a" e "b" valem, respectivamente, 3 e 72. Sabendo-se que um dos números é um quadrado perfeito, conclui-se que a soma "a"+"b" vale:
a) 33
b) 35
c) 42
d) 58
e) 75

mdc = 3
mmc = 72 = 2³*3²

a = 3*x
b = 3*y

ab = 3²*xy
ab = mdc*mmc = 3*(2³*3²) = 2³*3³

xy = 2³*3³/3²
xy = 2³*3

Ora, como a e b já possuem o fator primo comum 3, um deles pelo menos deverá ter mais um fator 3, o que fará dele um quadrado perfeito.

Por outro lado, teremos que colocar todos os fatores primos iguais a 2, num só dos números, a fim de não se alterar o valor dado do mdc.

Assim,

a = 3*x = 3*3 = 9 ---> quadrado perfeito
b = 3*y = 3*2³ = 3*8 = 24

E a soma requerida é:

a + b = 9 + 24 = 33

Alternativa (a).

por soudapaz Seg 12 Out 2009, 16:16

Sabe-se que o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum entre os números "a" e "b" valem, respectivamente, 3 e 72. Sabendo-se que um dos números é um quadrado perfeito, conclui-se que a soma "a"+"b" vale:

o produto dos números é o produto do mdc pelo mmc: 3.72 = 216
216 = 6³ = (2.3)³ = 2³.3³
Como o mdc é 3, então o menor deles é 3.2³ = 24
Logo, o outro é 9. Assim 24 + 9 = 33

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