Somatório (IME)

(IME-65/66) Calcule a soma da série:

1/1.3.5 + 1/3.5.7 + 1/5.7.9 + ⋯

Spoiler:

Se for possível, eu gostaria que me mostrasse uma maneira prática de atacar somas dessa natureza, pois já pesquisei bastante e nenhum dos materiais aos quais consultei falava precisamente do caso onde há quocientes.

Desde já, agradeço.

1/1.3.5 + 1/3.5.7 + ... + 1/ (2n-1)(2n+1)(2n+3)=
(1/1.3.5) = 1/4.(1/1.3 - 1/3.5)
+ +
(1/3.5.7) = 1/4.(1/3.5 - 1/5.7)
+ +
... ...
1/(2n-1).(2n+1).(2n+3) = 1/4.(1/(2n-1).(2n+1) - 1/(2n+1).(2n+3)
como se vê, uma soma telescópica que vai cancelando todo mundo menos
1/1.3.4 - 1/(2n+1).(2n+3), mas como n tende ao infinito, o segundo membro tende a zero, assim, a soma se resume a 1/12 valle

Cara, valeu, muito obrigado!
Mas de onde vem aquele 1/4 vezes a soma, existe meio de deduzi-lo?
Li no livro de Combinatória do Prof. Morgado um método onde ao se forçar uma identidade polinomial, conseguia-se transformar um produto de consecutivos em soma, mas não era mostrado um exemplo com quocientes.
Você poderia, por favor, descrever-me essa situação de uma maneira genérica, eu já consegui com dois, por exemplo, 1/[k(k + 1)], mas com três consecutivos, eu me atrapalhei.
Desculpe o incomodo, mas eu realmente preciso tirar essa dúvida.

assim cara, não conheço uma forma genérica, mas vc deve saber que as questões que levam a somas infinitas ou muito grandes, geralmente são somas telescópicas que irão cancelar membro a membro, vc deve forçar a questão a nos mostrar essa soma telescópica... procure a semelhança entre os elementos, ou 2 a 2 ou entre o primeiro e o último. Como eu disse, não conheço caminho das pedras, essa questão eu já tinha visto antes, mas como outras que eu ja vi, temos que forçar o cancelamento, espero ter ajudado! abraço!

Questão antiga, mas aqui vai uma solução usando identidade polinomial:

(*) 1/[(2n-1)*(2n+1)*(2n+3)] ≡ A/(2n-1) + B/(2n+1) + C/(2n+3)

(**) A(2n+1)*(2n+3) + B(2n-1)*(2n+3) + C(2n-1)*(2n+1) ≡ 1

       A(4n²+8n+3) + B(4n² + 4n -3) + C(4n² - 1) ≡ 1

(i) 4A + 4B + 4C = 0
(ii) 8A + 4B = 0
(iii) 3A - 3B - C = 0

(***)De (i), (ii) e (iii): 

A = 1/8; B= -1/4 e C = 1/8

.: A soma se torna:

(1/∑ [1/(2n-1) - 2/(2n+1) + 1/(2n+3)]=

=1/8{∑ [1/(2n-1)] + ∑[1/(2n+3)] - ∑[2/(2n+1)]}=

=1/8[(1 + 1/3 + 1/5 + 1/7...) + (1/5 + 1/7 + 1/9+...) - 2(1/3 + 1/5 + 1/7 + ...)] = 

= 1/8 (1 + 1/3 - 2/3) = 

=1/8 * 2/3 = 1/12   

Ou seja,

1/1.3.5 + 1/3.5.7 + 1/5.7.9 + ⋯ = 1/12.