Somatório

Calcule a integral definida de x=1 a x=3 de x³ em função de x pela soma de Riemann.

O que há de errado no meu raciocínio?

Seja o intervalo dividido  em n subintervalos. Cada subintervalo terá 2/n = h unidades de largura.

A altura de cada retângulo formado embaixo da curva aumentará conforme a sequência abaixo:

(1+h)³,(1+2h)³,(1+3h)³... (1,kh)³... (1+nh)³

Como a área de cada retângulo é base x altura:

A soma das áreas = integral definida solicitada = Somatório com k variando de 0 a n de h(1+kh)³

= Somatório com k variando de 0 a n de h(1 + 3k²h² + 3kh + k³h³)

= Somatório com k variando de 1 a n de h(3k²h² + 3kh + k³h³)

= h³ (2n+1)(n+1)n/2    + 3h²n(n-1)/2    +  (h^4)n²(n-1)²/4

De h = 2/n:

= 4 (2n+1)(n+1)n/n³ + 6n(n-1)/n² + 4n²(n-1)²/(n^4)

Aplicando limite com n tendendo ao infinito, obteríamos:

8+6+4 = 18

Porém, fazendo do modo tradicional:

(x^4)/4 de 1 a 3 =  81/4 - 1/4 = 80/4 = 20

Agradeço desde já.

Já identifiquei meu erro!!

Considerei o somatório de h com k variando de 1 a n como h, e limite de h quando n tende ao infinito é zero. Por isso cortei da conta.

Na verdade, o somatório de h com k variando de 1 a n é nh, e limite de nh quando n tende ao infinito é dois. Somando dois ao dezoito temos o 20, que é a resposta correta.