Geometria - Pirâmide quadrangular

por **Jose Carlos** 28/9/2009, 1:59 pm

Dada uma pirâmide quadrangular regular de 8 m de aresta básica e 6 m de altura, considere o plano secante perpendicular ao plano da base e contendo os pontos médios de duas arestas laterais consecutivas. Calcule o volume dos dois sólidos em que fica dividida a pirâmide.

R: V1 = 20 m³ e V2 = 108 m³.

por **adriano tavares** 10/11/2010, 3:30 pm

Olá, Jose Carlos.

Geometria - Pirâmide quadrangular Pirmidequadrangularregu

$ST=4$ ,pois é base média do triângulo VBC.

Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo cuja hipotenusa é o apótema da pirâmide teremos:

$(VM)^2=6^2+4^2 \Rightarrow (VM)^2=52 \Rightarrow VM=\sqrt{52}$

Aplicando Pitágoras novamente, agora no triângulo VBM teremos:

$(VB)^2=(VM)^2+4^2 \Rightarrow (VB)^2=68\Rightarrow VB=2\sqrt{17}$

O sólido menor formado por esse plano pode ser decomposto em três outros, sendo estes duas pirâmides e um prisma.

$SJ=3$ --> metade da altura da pirâmide.

$SB=\sqrt{17}$ ---> metade da aresta VB

Cálculo de SF aplicando Pitágoras no triângulo SBF.

$(SF)^2=(SB)^2-2^2 \Rightarrow (SF)^2=17-4 \Rightarrow SF=\sqrt{13}$

Cálculo de JF:

$(JF)^2=(\sqrt{13})^2-3^2 \Rightarrow (JF)^2=4 \Rightarrow JF=2$

Cálculo de JB:

$(JB)^2=(\sqrt{17})^2-3^2\Rightarrow (JB)^2=8 \Rightarrow JB=2\sqrt{2}$

O triângulo JBF é retângulo, pois $(JB)^2=(JF)^2+(BF)^2$

O volume do sólido menor é dado por:

$v_{sm}=2.\frac{1}{3}.2^2.3+\frac{2.3}{2}.4\Rightarrow v_{sm=}20\tex{m^3}$

$V_s=V_p-v_{sm}\Rightarrow V_s=\frac{1}{3}.8^2.6-20 \Rightarrow V_s=108{\tex m^3}$