Pirâmide Quadrangular

a minha deu 2 800 cm^3.
depois, quando chegar em casa, posto minhas contas.

a = apótema da pirâmide
h = altura da pirâmide
b = aresta da base
b' = aresta do plano a 12 cm da base
V = volume da pirâmide
V' = volume da pirâmide menor (do topo)
Vt = volume do tronco de pirâmide = ?



\\S_{\ell}-S_b = 640 \;cm^3 \;\; e \;\; a = \frac{13}{12}h

As proporções dadas para o triângulo VAB na pirâmide estão representadas no pitagórico ao lado. Podemos concluir que
\\\frac{\frac{b}{2}}{h} = \frac{5}{12} \;\to\; b = \frac{10}{12}h = \frac{5}{6}h

usando a fornecida relação entre as áreas
\\S_{\ell}-S_b = 640 \;\;\to\;\; 4\cdot \frac{a.b}{2} - b^2 = 640  \;\;\to\;\;  2.a.b - b^2 = 640
e substituindo nesta fórmula as relações obtidas acima para a e b,
\\ 2\cdot \frac{13}{12}h \cdot \frac{5}{6}h - \frac{25}{36}h^2 = 640 \;\;\to\;\; \frac{10}{9}h^2 = 640 \;\;\to\;\; h^2 = 64\cdot9=576 \\\\
\therefore \boxed{\;h = 24\;} \;\;\to\;\; \boxed{\;a = 26\;} \;\;\to\;\; \boxed{\;b = 20\;}

Percebemos, portanto, que o plano da base b' fica exatamente a meia altura da pirâmide, ou seja,
h' = h - 12  ----->  h' = 24 - 12  ----->  h' = 12
e que a aresta b' é a base média do triângulo da lateral -----> b' =10

Não lembro a fórmula para cálculo do volume de um tronco de pirâmide (se lembrasse ficava mais facil), então vou calcular assim:
Vt = V - V'

acontece que a pirâmide pequena (de cima) é semelhante à pirâmide grande e a razão de semelhança pode ser dada por:
k = h'/h -----> k = 12/24 -----> k = 1/2
E, da semelhança, temos a seguinte relação entre os volumes ----> V'/V = k³  ----->  V' = V/8
assim,
Vt = V - V'  ----->  Vt = V - V/8 ----->  Vt = (7/8).V
\\\therefore V_t = \frac{7}{8}\cdot\frac{1}{3}\cdot b^2 \cdot h \;\;\to\;\; V_t = \frac{7}{8}\cdot\frac{1}{3}\cdot 20^2 \cdot 24  \;\;\to\;\; \boxed{\; V_t = 2800 cm^3 \;}

Agora eu entendi, o 400 cm ^3 que achei foi o volume da pirâmide pequena ai eu teria que subtrair do volume total (que pelos meus cálculos deu 3200 cm^3 ) para obter o volume do tronco . Obrigada, suas explicações são ótimas.

Só mais uma dúvida essa parte do final teria possibilidade de fazer por semelhança , tipo V total/V do tronco = (H total / H tronco)^3  ?

Não, porque o tronco não é semelhante à pirâmide, embora tenha sido extraído dela -- são sólidos diferentes, não se pode falar em semelhança neste caso.