Equação do segundo grau e Relações de Girard.

por MurilloArruda Qui 08 Dez 2011, 19:53

(Aref - Volume 1) Considere a equação 3x² - 7x + 1 = 0. Calcule a soma do quadrado de suas raízes.

Entendi que ele pediu X1² + X2² que é um produto notável, mas não consegui desenvolver e chegar numa resposta correta.

por **hygorvv** Qui 08 Dez 2011, 20:00

Usando as relações de Girard, temos
x1+x2=-b/a <-> x1+x2=7/3
x1.x2=c/a <-> x1.x2=1/3

(x1+x2)²=x1²+x2²+2x1.x2=(7/3)²
x1²+x2²=(7/3)²-2x1.x2
x1²+x2²=49/9-2.1/3
x1²+x2²=43/9

Espero que seja isso e que te ajude.

por MurilloArruda Qui 08 Dez 2011, 20:10

Muito obrigado, cara.

por gabriel93 Sex 09 Dez 2011, 19:18

Você também pode usar a fórmula de Newton:

$aS_n + bS_{n-1} + cS_{n-2} = 0$

onde:

$S_n = x_1^n + x_2^2$

sendo $x_1$ e $x_2$ as raízes. Logo,

$3S_2 - 7S_1 + S_0 = 0$

$S_0$ e $S_1$ você já conhece:

$S_0 = x_1^0 + x_2^0 = 2$

$S_1 = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{7}{3}$

$3S_2 - 7 \cdot \frac{7}{3} + 2 = 0$

$\frac{9S_2 - 49 + 6}{3} = 0$

$9S_2 - 43 = 0$

$S_2 = \frac{43}{9}$

Nesse problema, não há a necessidade de usar a fórmula. Porém, quando $n$ é um valor grande, é mais rápido pela fórmula de Newton. Se você quiser a demonstração de tal fórmula eu posso postar aqui... Espero ter ajudado cheers

por **vanderson** Sex 09 Dez 2011, 19:27

gabriel93 escreveu:Você também pode usar a fórmula de Newton:

$Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$

onde:

$Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$

sendo $Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$ e $Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$ as raízes. Logo,

$Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$

$Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$ e $Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$ você já conhece:

$Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$

$Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$

$Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$

$Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$

$Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$

$Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$

Nesse problema, não há a necessidade de usar a fórmula. Porém, quando $Equação do segundo grau e Relações de Girard. Gif$ é um valor grande, é mais rápido pela fórmula de Newton. Se você quiser a demonstração de tal fórmula eu posso postar aqui... Espero ter ajudado

nossa... Onde vc viu essa fórmula?? nunca ve ela!!!

por MurilloArruda Sex 09 Dez 2011, 19:33

Já vi o somatório de Newton em algum canto, acho que foi numa resolução de uma questão do MIT. Sendo que mal me lembrei na hora. Tu poderias postar a comprovação? Entendo melhor assim. Obrigado, desde já.

por gabriel93 Sex 09 Dez 2011, 20:36

Essa fórmula tem no livro de álgebra do morgado, não é difícil de encontrar para baixar.

A demonstração:

Sejam $x_1$ e $x_2$ as raízes da equação $ax^2 + bx + c = 0$ .
Logo:

$ax_1^2 + bx_1 + c = 0$

$ax_2^2 + bx_2 + c = 0$

Multiplicando a primeira equação por $x_1^{n-2}$ e a segunda por $x_2^{n-2}$ , temos que:

$ax_1^n + bx_1^{n-1}+cx_1^{n-2} = 0$

$ax_2^n + bx_2^{n-1}+cx_1^{n-2} = 0$

Fazendo a soma das equações anteriores:

$a(x_1^n + x_2^n) + b(x_1^{n-1}+ x_2^{n-1}) + c(x_1^{n-2} + x_2^{n-2}) = 0$

$aS_n + bS_{n-1} + cS_{n-2} = 0$

sendo:

$S_n = x_1^{n} + x_2^n$

por Orihara Seg 10 Nov 2014, 21:16

Alguém poderia me explicar detalhadamente as seguintes passagens:

(x1+x2)²=x1²+x2²+2x1.x2=(7/3)²
x1²+x2²=(7/3)²-2x1.x2

Não entendi o porquê do (7/3)² estar após a igualdade sendo que ele vale x1+x2.

Grato.

por Luiz Moreira Seg 10 Nov 2014, 23:40

É um produto notável:

Se x' + x'' = 7/3 => (x' + x'')² = (7/3)²

Entendeu?

por William Lima Ter 11 Nov 2014, 00:45

Seja a equação: 3x²-7x+1. Temos que a soma das raízes é 7/3 e o produto das raízes é 1/3. Chamando as raízes de x e y, temos que:

x+y=7/3
xy=1/3

x²+y²=(x+y)²-2xy=(7/3)² - 2(1/3)=(49/9) - (2/3) = 43/9.