Relaçoes de Girard com Trigonometria?

Z^7 = 1

Temos como raizes dessa equação: cis(2pi/7), cis(4pi/7), cis(6pi/7), ... cis(12pi/7) e 1

Porém, pelas relações de Girard, temos que a soma de todas as raízes é igual a zero.

ou seja: cis(2pi/7) + cis(4pi/7) +cis(6pi/7)+ ... + cis(12pi/7) = -1

porém, temos que cis(12pi/7) é o conjugado de cis(2pi/7).

cis(10pi/7) é o conjugado de cis(4pi/7)

e cis(8pi/7) é o conjugado de cis(6pi/7)

Então a soma deles, é puramente real. E como são conjugados, suas partes reais são iguais.

entao em cis(2pi/7) + cis(4pi/7) + cis(6pi/7) + .... cis(12pi/7) = -1

nada mais temos do que: 2 [ cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7)] = -1

ou seja: cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7) = -1/2

então, resolvendo a questão pedida temos que:

cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7) + 1/2 = ZERO

Explicação boa Lucas, vou resolver de uma forma similar, mas acredito que ele possa entender melhor:
Seja z = cis(2pi/7)
Sabemos que z^7 = 1, então, z^7 - 1 = 0
Mas não devemos esquecer da fatoração:
z³ - 1 = (z - 1)(z² + z + 1)
z^4 - 1 = (z - 1)(z^3 + z² + z + 1)
...
z^7 - 1 = (z - 1)(z^6 + z^5 + z^4 + z³ + z² + z + 1) = 0


z - 1 # 0
Logo,

z^6 + z^5 + z^4 + z³ + z² + z + 1 = 0

(Dividindo a equacao acima por z^3)

z³ + z² + z + 1 + 1/z + 1/z² + 1/z³ = 0

Organizando:

(z³ + 1/z³) + (z² + 1/z²) + (z + 1/z) + 1 = 0

Sabemos também que:

z^n + 1/z^n = 2.cos(n.2pi/7)

Colocando y = z + 1/z:

y³ - 3y + y² - 2 + y + 1 = 0

y³ + y² - 2y - 1 = 0

As raízes dessa equacao são:

y1 = 2.cos(2pi/7)

y2 = 2.cos(4pi/7)

y3 = 2.cos(6pi/7)

Por Girard:

y1 + y2 + y3 = -1

2(cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7)) = - 1

Logo,

cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7) = - 1/2

Então a resposta será:

-1/2 + 1/2 = ZERO. (como o Lucas achou)