Relações de Girard I

Resolva a equação x³ + 5x² - 18x - 72 = 0, sabendo que uma raiz é metade do produto das outras duas. 

Gabarito:  S = {-3,-6,4}

Olá, spockdoo.

Sejam as raízes r,s e t. Falemos, sem perda de generalidade, que r = (s*t)/2. Então:

r+s+t = -5 .:. (s*t)/2 + s + t = -5 .:. s*t + 2*(s+t) = -10 ... I

r*s + r*t + s*t = -18 .:. (s²*t)/2 + (s*t²)/2 + s*t = -18 .:.  (s*t)*[s+t+2] = -36 ... II

Melhorando I, temos: 2*(s+t) = -10 - s*t .:. s+t = -[10+s*t]/2

Então:

(s*t)*[s+t+2] = -36 .:. (s*t)*[ -(10+s*t)/2 + 2] = -36 .:. (s*t)*[-5-s*t + 4] = -72 .:. -(s*t) - (s*t)² = -72 .:. -(s*t)² - (s*t) + 72 = 0

Fazendo s*t = k, temos:

-k² - k + 72 = 0 <--> k' = -9 ou k'' = 8

O único caso que resulta em um r tal que p(r) = 0 é k = 8 <--> r = 4. Por Briot-Ruffini:

4 | 1 5 -18 -72
     1 9  18   0  <--> p(x) = (x-4)*(x²+9x+18) .:. p(x) = (x-4)*(x+3)*(x+6)

Logo, as outras raízes são x = -3 e x = -6.

Att.,
Pedro