Relações de Girard
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Relações de Girard
por Cesconetto Qua 14 Nov 2012, 23:57
Determine o conjunto solução da equação:
x³ - 6x² + (12 + i)x - (9 + 3i) = 0
Obs: Uma das raízes é igual à soma das outras duas.
Encontrei o valor de uma as raízes, mas as outras duas não conseguindo.
Se um número complexo é raiz de um polinômio, seu conjugado tbm é raiz do mesmo polinômio. Isso não é um teorema? A questão está errada?
Agradecido.
x³ - 6x² + (12 + i)x - (9 + 3i) = 0
Obs: Uma das raízes é igual à soma das outras duas.
Encontrei o valor de uma as raízes, mas as outras duas não conseguindo.
- Spoiler:
- S = {3; 1 + i; 2 - i}
Se um número complexo é raiz de um polinômio, seu conjugado tbm é raiz do mesmo polinômio. Isso não é um teorema? A questão está errada?
Agradecido.
Cesconetto- Recebeu o sabre de luz
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Re: Relações de Girard
por Luck Qui 15 Nov 2012, 00:58
Olá Cesconetto, esse teorema so vale se os coeficientes da equação forem reais, que não é o caso.
Por inspeção 3 é raíz, fatorando por briot ruffini obtemos:
(x-3)(x² - 3x + (3+i) ) = 0
calculando agora a equação do 2º grau:
delta : sqrt(-3-4i)
sqrt(-3-4i) = a + bi
-3 - 4i = a² +2abi - b²
temos o sistema:
a² - b² = - 3
2ab = - 4
resolvendo esse sistema : a = 1 , b = -2 ou a = -1 , b =2
então delta = 1 - 2i ou -1 + 2i que leva ao mesmo resultado
x = [3 +- (-1+2i)] / 2
x = 1 + i ou x = 2 - i
S = {3, 1+i , 2-i }
Por inspeção 3 é raíz, fatorando por briot ruffini obtemos:
(x-3)(x² - 3x + (3+i) ) = 0
calculando agora a equação do 2º grau:
delta : sqrt(-3-4i)
sqrt(-3-4i) = a + bi
-3 - 4i = a² +2abi - b²
temos o sistema:
a² - b² = - 3
2ab = - 4
resolvendo esse sistema : a = 1 , b = -2 ou a = -1 , b =2
então delta = 1 - 2i ou -1 + 2i que leva ao mesmo resultado
x = [3 +- (-1+2i)] / 2
x = 1 + i ou x = 2 - i
S = {3, 1+i , 2-i }
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Re: Relações de Girard
por Adam Zunoeta Qui 15 Nov 2012, 01:18
Outra forma:
Raízes:
a,b,c
a=b+c
Girard:
a+b+c =6 ---> a+a=6 ---> a=3
a+b+c=6 ----> b+c=3 ---> (1)
a*b*c=9+3i ---> 3*b*c=9+3i ---> b*c=3+i ----> (2)
Isolando "c" em (1) e substituindo em (2):
c=3-b
b*(3-b)=3+i ---> 3b-b²=3+i ---> -b²+3b-(3+i)=0
b²-3b+3+i=0
Raízes:
a,b,c
a=b+c
Girard:
a+b+c =6 ---> a+a=6 ---> a=3
a+b+c=6 ----> b+c=3 ---> (1)
a*b*c=9+3i ---> 3*b*c=9+3i ---> b*c=3+i ----> (2)
Isolando "c" em (1) e substituindo em (2):
c=3-b
b*(3-b)=3+i ---> 3b-b²=3+i ---> -b²+3b-(3+i)=0
b²-3b+3+i=0
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