Relações de Girard

por Cesconetto Qua 14 Nov 2012, 23:57

Determine o conjunto solução da equação:

x³ - 6x² + (12 + i)x - (9 + 3i) = 0

Obs: Uma das raízes é igual à soma das outras duas.

Encontrei o valor de uma as raízes, mas as outras duas não conseguindo.

Spoiler:

Se um número complexo é raiz de um polinômio, seu conjugado tbm é raiz do mesmo polinômio. Isso não é um teorema? A questão está errada?

Agradecido.

por Luck Qui 15 Nov 2012, 00:58

Olá Cesconetto, esse teorema so vale se os coeficientes da equação forem reais, que não é o caso.
Por inspeção 3 é raíz, fatorando por briot ruffini obtemos:
(x-3)(x² - 3x + (3+i) ) = 0

calculando agora a equação do 2º grau:
delta : sqrt(-3-4i)
sqrt(-3-4i) = a + bi
-3 - 4i = a² +2abi - b²
temos o sistema:
a² - b² = - 3
2ab = - 4

resolvendo esse sistema : a = 1 , b = -2 ou a = -1 , b =2

então delta = 1 - 2i ou -1 + 2i que leva ao mesmo resultado

x = [3 +- (-1+2i)] / 2
x = 1 + i ou x = 2 - i

S = {3, 1+i , 2-i }

por **Adam Zunoeta** Qui 15 Nov 2012, 01:18

Outra forma:

Raízes:

a,b,c

a=b+c

Girard:

a+b+c =6 ---> a+a=6 ---> a=3

a+b+c=6 ----> b+c=3 ---> (1)

a*b*c=9+3i ---> 3*b*c=9+3i ---> b*c=3+i ----> (2)

Isolando "c" em (1) e substituindo em (2):

c=3-b

b*(3-b)=3+i ---> 3b-b²=3+i ---> -b²+3b-(3+i)=0

b²-3b+3+i=0

por Cesconetto Qui 15 Nov 2012, 10:25

Entendi!
Obrigado.

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