equação algébrica- polinônio

(GV-73) Um, e somente um, dos polinômios abaixo satisfaz a relação P(x) - P(x - 1) = x,  para todo x real.
Assinale-o
a) P(x) = (1/2)x^2 + (1/2)x + 3
b) P(x) = (1/2)x^2  - x + 3
c) P(x) = x^2 + 3x
d) P(x) = x^2 + (1/2)x - 2 
e) P(x) = x^2 + x

gab: A

P(x) = (1/2).x² + (1/2).x + 3

P(x - 1) = (1/2).(x - 1)² + (1/2).(x - 1) + 3 ---> P(x - 1) = (1/2).x² - x + 1/2 + (1/2).x - 1/2 + 3 ---> 

P(x - 1) = (1/2).x² - (1/2)x + 3

P(x) - P(x - 1) = (1/2).x² + (1/2).x + 3 - [(1/2).x² - (1/2)x + 3] = x

Pensando no caso genérico sem testar as alternativas dadas, a não ser considerar que todas são do segundo grau então vamos admitir um polinômio do segundo grau.

p(x) = ax² + bx + c
p(x-1) = ax² - 2ax + a + bx - b + c
p(x-1) = ax² + (b-2a)x + (a-b+c)

p(x) - p(x-1) = x
p(x) - p(x-1) = (b-b+2a)x + (c-a+b-c) = x
p(x) - p(x-1) = 2ax + (b-a) = x ........................(*)

Portanto, igualando os índices temos:
2a = 1 -----> a = 1/2
b - a = 0 -----> b = 1/2

E no momento o polinômio p(x) está na forma
p(x) = x²/2 + x/2 + c

Como a diferença dos polinômios não depende do termo independente c (*), podemos olhar as alternativas e a única que atende é a alternativa a.