equação algébrica- polinônio

(ITA-69) Seja x^5 - 3x^4 -2x^2 +4x - 2 = 0.

Assinale a afirmação correta com relação a esta equação:

a) não tem raízes reais positivas
b) não tem raízes reais negativas
c) só tem raízes complexas
d) tem duas raízes negativas
e) nda

gab: B

x⁵ - 3.x⁴ + 0.x³ - 2.x² + 4.x - 2 = 0

Existem 5 raízes, com as seguintes possibilidades:

I) 5 raízes reais racionais (r, s, t, u, v)
II) 3 raízes reais e duas complexas conjugada (r, s, t, a+b.i, a-b.i)
III) 1 raiz real e 4 complexas conjugadas (r, a+b.i, a-b.i, c+d.i, c-d.i)
IV) 5 raízes reais sendo duas irracionais conjugadas (r, s, t, +k, -k)
V) 5 raízes reais sendo 4 irracionais conjugadas, duas a duas (r, +k, -k, +m, -m)
VI) 1 raiz real racional, duas irracionais e duas complexas conjugadas (r, -k, +k, a+b.i, a-b.i)

Caso I) Teorema das possíveis raízes racionais: caso existam, serão inteiras: -2, -1, 1, 2 ---> Caso I impossível

Para os demais casos sugiro usar relações de Girard, por exemplo:

Caso II) r + s + t + (a + b.i) + (a - b.i) = 3 ---> r + s + t + 2.a = 3

r.s.t.(a + b.i).(a - b.i) = 2 ---> r.s.t.(a² + b²) = 2