PG e números complexos

por Leonam O. Ontem à(s) 19:13

Sejam i a unidade imaginária e a_n o n-ésimo termo
de uma progressão geométrica com a₂ = 2a₁.
Se a1 é um número ímpar, então i^a₁ +i^a₂ + ⋯ +i^a₁₀ é igual a:

a) 9i ou −9i
b) −9 + i ou −9 −i
c) 9 +i ou 9− i
d) 8 +i ou 8− i
e) 7 +i ou 7− i

Gab: e

por r4f4 Ontem à(s) 19:29

a1 -> ímpar
a2 -> par
a3 -> par
...
a10 -> par
portanto, temos que i^a1 vai ser igual ou a +i ou a -i e que todos os outros termos serão iguais a -1 ou +1, sendo que esses demais termos podem todos ser escritos em função de a2, como visto abaixo

i^a2 = i^2*a1 -> -1^a1
i^a3 = i^4*a1 -> 1^a1
i^a4 = i^8*a1 -> 1^a1

Perceba que após o i^a2, todos os outros termos serão iguais a 1^a1. Vamos, portanto, somar.
i^a1 - 1^a1 + 1^a1 + 1^a1 ... + 1^a1 (sendo esse ultimo termo o i^a10 = 1^a1)

i^a1 + 8 * (1^a1) - 1^a1
i^a1 + 7 * (1^a1). Perceba que, se a1 é ímpar, 1^a1 = 1 e i^a1 = +i ou -i, logo as respostas são
7 + i ou 7 - i
GAB E

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