Soma dos coeficientes de um polinômio

por rielsonfragoso Sex 26 Jul 2024, 22:42

O polinômio [latex]p(x) = ax^3+bx^2+cx+d[/latex], se anula para cinco valores de x. Determine o valor da soma a + b + c + d.

Gabarito: 0.

Minha dúvida: com o enunciado corrigido para 3 em vez de 5, seria possível determinar a soma indicada?

Grato.

por DaoSeek Sáb 27 Jul 2024, 12:05

Como tem 5 raízes, a única possibilidade é que p(x) = 0 para todo x. Logo, a soma dos coeficientes é zero.

Sabendo apenas que p(x) tem 3 raízes não é possível resolver a questão, existem infinitas possibilidades para a soma a+b+c+d.

Por exemplo, se p(x) =x(x+1)(x+2) temos soma igual a 6. Agora, se p(x) = x(x+2)(x+3), temos soma igual a 12.

por rielsonfragoso Sáb 27 Jul 2024, 12:43

DaoSeek escreveu:Como tem 5 raízes, a única possibilidade é que p(x) = 0 para todo x. Logo, a soma dos coeficientes é zero.

Sabendo apenas que p(x) tem 3 raízes não é possível resolver a questão, existem infinitas possibilidades para a soma a+b+c+d.

Por exemplo, se p(x) =x(x+1)(x+2) temos soma igual a 6. Agora, se p(x) = x(x+2)(x+3), temos soma igual a 12.

Entendi. Eu achava que o enunciado estava errado por afirmar que p(x), de grau 3, possui 5 raízes. Mas sua explicação esclareceu-me o conceito de um polinômio identicamente nulo (PIN), que se anula para qualquer valor de x.

Se afirmou que p(x) tem mais raízes que seu grau indica, então só resta que ele seja PIN. E, nesse caso, para que ele se anule para qualquer valor de x, todos os seus coeficientes devem ser iguais a 0.

Muito obrigado.

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