Função quadrática

Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x² +mx +2.

Nessas condições:

a) Determine em função de m, as coordenadas do vértice da parábola da equação y = f(x).

b) Determine os valores de m ∈ ℝ para os quais a imagem de f contém o conjunto { y ∈ ℝ : y ≥ 1}

c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto { y ∈ ℝ : y ≥ 1} e, além disso, f é crescente no conjunto { x ∈ ℝ : x ≥ 0}

d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y ≥ 2, o único valor de x ≥ 0 tal que f(x) = y.

Eu não entendi a letra d) pq é um grafico?
Gabarito:

a) a abscissa é -m/2 e a ordenada é -m²/4 + 2
b) m <= -2 ou m >= 2
c) 2
d) é um gráfico

Para cada número real \(m\), considere a função quadrática \(f(x) = x^2 + mx + 2\).

Nessas condições:

a) Determine em função de \(m\), as coordenadas do vértice da parábola da equação \(y = f(x)\).

A coordenada \(x\) do vértice de uma parábola dada por \(f(x) = ax^2 + bx + c\) é:
\[
x_v = -\frac{b}{2a}
\]
No caso de \(f(x) = x^2 + mx + 2\), temos \(a = 1\) e \(b = m\). Portanto:
\[
x_v = -\frac{m}{2}
\]
A coordenada \(y\) do vértice é:
\[
y_v = f(x_v) = f\left(-\frac{m}{2}\right) = \left(-\frac{m}{2}\right)^2 + m\left(-\frac{m}{2}\right) + 2 = \frac{m^2}{4} - \frac{m^2}{2} + 2 = -\frac{m^2}{4} + 2
\]
Então, as coordenadas do vértice são:
\[
\left( -\frac{m}{2}, -\frac{m^2}{4} + 2 \right)
\]

b) Determine os valores de \(m \in \mathbb{R}\) para os quais a imagem de \(f\) contém o conjunto \(\{ y \in \mathbb{R} : y \geq 1 \}\).

A imagem de \(f(x)\) será maior ou igual a 1 se o valor mínimo de \(f(x)\), que ocorre no vértice, for menor ou igual a 1:
\[
-\frac{m^2}{4} + 2 \geq 1
\]
Resolvendo a desigualdade:
\[
-\frac{m^2}{4} + 2 \geq 1 \implies -\frac{m^2}{4} \geq -1 \implies \frac{m^2}{4} \leq 1 \implies m^2 \leq 4 \implies -2 \leq m \leq 2
\]
Portanto, os valores de \(m\) são:
\[
m \in [-2, 2]
\]

c) Determine o valor de \(m\) para o qual a imagem de \(f\) é igual ao conjunto \(\{ y \in \mathbb{R} : y \geq 1 \}\) e, além disso, \(f\) é crescente no conjunto \(\{ x \in \mathbb{R} : x \geq 0 \}\).

Para que a imagem de \(f\) seja igual ao conjunto \(\{ y \in \mathbb{R} : y \geq 1 \}\), o valor mínimo de \(f(x)\) deve ser exatamente 1:
\[
-\frac{m^2}{4} + 2 = 1 \implies -\frac{m^2}{4} = -1 \implies \frac{m^2}{4} = 1 \implies m^2 = 4 \implies m = \pm 2
\]
Para que \(f\) seja crescente em \(\{ x \in \mathbb{R} : x \geq 0 \}\), a derivada \(f'(x) = 2x + m\) deve ser não negativa para \(x \geq 0\):
\[
2x + m \geq 0 \quad \text{para todo} \quad x \geq 0
\]
Se \(m = -2\), então \(2x - 2 \geq 0 \implies 2x \geq 2 \implies x \geq 1\), o que não é verdade para todo \(x \geq 0\).

Portanto, \(m\) deve ser \(2\). Então:
\[
m = 2
\]

d) Encontre, para a função determinada pelo valor de \(m\) do item c) e para cada \(y \geq 2\), o único valor de \(x \geq 0\) tal que \(f(x) = y\).

Para \(m = 2\), a função é \(f(x) = x^2 + 2x + 2\). Queremos encontrar \(x \geq 0\) tal que \(f(x) = y \geq 2\):
\[
x^2 + 2x + 2 = y \implies x^2 + 2x + 2 - y = 0
\]
Resolvendo a equação quadrática:
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - y)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8 + 4y}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4y - 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{y - 1}}{2} = -1 \pm \sqrt{y - 1}
\]
Como queremos \(x \geq 0\):
\[
x = -1 + \sqrt{y - 1}
\]
Portanto, para cada \(y \geq 2\), o único valor de \(x \geq 0\) tal que \(f(x) = y\) é:
\[
x = -1 + \sqrt{y - 1}
\]
Isolando \(y\) em função de \(x\):
\[
y - 1 = (x+1)^2 \Leftrightarrow y = (x+1)^2 + 1 
\]
que é uma parábola de concavidade para cima, com vértice em \( \left(  -1, 1 \right)\) que toca o eixo das ordenadas (\(Oy\)) no ponto \( (0,2) \).