Máximo e mínimo em elipsoide

Dada a equação  \(\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{7^2}+\frac{z^2}{13^2}=1\). Sendo \(\theta ,\alpha \in [0,2\pi]\) tome a seguinte parametrização do elipsoide:
\[
\left\{\begin{matrix}
x(\theta,\alpha)=2cos(\theta)\
\\ 
y(\theta,\alpha)=7sin(\theta)sin(\alpha)
\\ 
z(\theta,\alpha)=13sin(\theta)cos(\alpha)
\end{matrix}\right.
\]

Assim, como o centro do elipsoide está na origem, dado um ponto P=(a,b,c) pertencente a ele, o paralelepípedo que está inscrito nele e é paralelo ao eixos x,y e z tem volume V dado por:

\[V=(2a)*(2b)*(2c)\]
\[V=8*abc\]
\[V=8*(2cos(\theta))*(7sin(\theta)sin(\alpha))*(13sin(\theta)cos(\alpha))\]
\[V(\theta,\alpha)=1456*(sin^2(\theta)cos(\theta))*(sin(\alpha)cos(\alpha))\]

Agora, para maximizarmos a função acima, basta que maximizemos as funções trigonométricas isoladamente, pois são LI:

(i) \[f(\theta)=sin^2(\theta)cos(\theta)\] \[\Rightarrow f'(\theta)=0=2sin(\theta)cos^2(\theta)-sin^3(\theta)\]
\[\Rightarrow 2cos^2(\theta) = sin^2(\theta) = 1-cos^2(\theta)\] 
\[\Rightarrow cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{3}}\;\;\; \text{e}\;\;\; sin^2(\theta)=\frac{2}{3} \]
\[\therefore f(\theta)_{max}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\]

(ii) \[g(\alpha)=sin(\alpha)cos(\alpha)=\frac{sin(2\alpha)}{2}\]
\[\therefore g(\alpha)_{max}=\frac{1}{2}\]

Por fim, o volume máximo pedido é:

\[V_{max}=1456\times \frac{2}{3\sqrt{3}}\times\frac{1}{2}\]
\[\therefore \fbox{$V_{max}=\frac{1456}{3\sqrt{3}}\;\text{u.v.}$}\]