Trabalho de um gás por área do gráfico

Bom dia, Ada.

Na verdade, é possível calcular o trabalho executado nos gráficos II e III quando a questão nos informa a lei de formação da pressão, a qual varia em função do volume. Ou seja, precisamos conhecer p(V).

Para realizar este cálculo, seria necessário o uso de integrais, que é uma abordagem mais sofisticada para problemas mais complexos.

Dentre as várias aplicações das integrais, uma delas serve para calcular áreas. Mais especificamente, a integral serve para calcular áreas abaixo de curvas.

Quando você calcula a área abaixo de uma curva quando a curva é de fácil reconhecimento, indiretamente você está calculando a integral abaixo.

[latex]\\\mathrm{W=\int_{V_i}^{V_f}p(V)d V}[/latex]

Integral esta que é mais utilizada para cálculo de áreas para as quais não temos fórmulas definidas como você mesmo disse.

Quando a área abaixo da curva é um trapézio, um círculo, um quadrado etc, utilizamos a própria geometria plana para resolver o problema. Agora, quando se trata de figuras complexas, utilizamos as integrais.

Vamos a um exemplo: tomemos o gráfico I. Podemos encontrar a equação da reta descrita, isto é, p(V) da seguinte forma:

[latex]\mathrm{\acute{E}\ sabido\ que\ y=m(x-x_0)+y_0=tan(\theta )(x-x_0)+y_0}[/latex]

[latex]\mathrm{tan(\theta )=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta p}{\Delta V}=\frac{p_0-3p_0}{3V_0-V_0}=-\frac{p_0}{V_0}}[/latex]

[latex]\mathrm{Sendo\ (x_0,y_0)=(V_0,3p_0)\ \therefore\ y=-\frac{p_0}{V_0}(x-V_0)+3p_0}[/latex]

[latex]\mathrm{Ou\ seja:p(V)=-\frac{p_0}{V_0}(V-V_0)+3p_0=-\frac{p_0}{V_0}V+4p_0}[/latex]

[latex]\mathrm{A\ \acute{a}rea\ abaixo\ da\ curva\ corresponde\ ao\ trabalho, tal\ que:}[/latex]

[latex]\mathrm{W=\int_{V_i}^{V_f}p(V)dV=\int_{V_0}^{3V_0}\left (-\frac{p_0}{V_0}V+4p_0  \right )dV=4p_0V_0}[/latex]

[latex]\mathrm{Por\ geometria\ plana:}[/latex]

[latex]\mathrm{W\overset{\acute{A}rea\ trap\acute{e}zio}{=}\frac{\left ( 3p_0+p_0 \right )\times (3V_0-V_0)}{2}=4p_0V_0}[/latex]

Note que tanto por integral quanto por geometria plana os resultados são iguais (e tem que ser iguais mesmo). No ensino médio usamos geometria plana, ou seja, lidamos com funções p(V) que fornecem figuras planas de fácil manipulação justamente pelo fato de não termos o conhecimento sobre integrais. No ensino acadêmico você passa a trabalhar com funções mais complicadas, daí usamos integrais. Por exemplo, no gráfico identificado por II uma possível p(V) seria a seguinte: p(V) = a/V, com "a" sendo uma constante. Neste caso não conseguimos usar geometria plana, nos restando somente as integrais.

É mais ou menos essa a ideia. Se houver dúvidas, avise.

Ada Augusta escreveu:Que íncrivel, Giovana! Tive algumas aulas introdutórias de limites e derivadas, mas não cheguei a ver integrais. Saber essas ferramentas realmente te dá superpoderes. Obrigada pela sua resolução!

Disponha. Limites, derivadas e integrais têm aplicações muito bonitas mesmo. Sou fã kkkk.