Equação exponencial

por Ada Augusta Sáb 23 Mar 2024, 22:26

$Equação exponencial Gif$

Numa resolução na internet, um professor fez a seguinte resolução:

No canto superior direito, ele resolve por tentativa e erro, achando n = 4. No entanto, na resolução algébrica, no canto inferior esquerdo, quarta linha, ele faz a seguinte operação:

$Equação exponencial Gif$

Ademais, ele acrescenta que, como 13 é o maior número, então a soma será igual a esse número; como 5 é o menor, então a subtração resultará nele.

Achei interessante, mas gostaria de entender em que contextos isso se aplica. E se a < 0 ou b < 0? Ou, ainda, se b > a, por exemplo?

Caso alguém se interesse, segue o vídeo:

por **Giovana Martins** Dom 24 Mar 2024, 09:40

A explicação não é das mais técnicas, mas acho que vai dar para entender. Do contrário, avise.

Isso só da certo, pois 65 somente pode ser escrito como 5 x 13. Não há outra possibilidade de escrita.

Se a igualdade fosse igualada a 64, por exemplo, já não daria certo. Veja 64 = 2 x 32 = 4 x 16.

Daí vem: a + b = 32 e a - b = 2 ou então a + b = 16 e a - b = 4.

Veja que há uma grande incoerência, pois como é que a e b somados resultam em 32 e os mesmos a e b somados resultam em 16? Impossível. São os mesmos números.

O mesmo vale para a subtração, pois não é possível a - b = 2 e, ao mesmo tempo, a - b = 4.

por Ada Augusta Dom 24 Mar 2024, 12:02

Giovana Martins escreveu:
A explicação não é das mais técnicas, mas acho que vai dar para entender. Do contrário, avise.

Isso só da certo, pois 65 somente pode ser escrito como 5 x 13. Não há outra possibilidade de escrita.

Se a igualdade fosse igualada a 64, por exemplo, já não daria certo. Veja 64 = 2 x 32 = 4 x 16.

Daí vem: a + b = 32 e a - b = 2 ou então a + b = 16 e a - b = 4.

Veja que há uma grande incoerência, pois como é que a e b somados resultam em 32 e os mesmos a e b somados resultam em 16? Impossível. São os mesmos números.

O mesmo vale para a subtração, pois não é possível a - b = 2 e, ao mesmo tempo, a - b = 4.

Entendi, mas o 65 também pode ser escrito como 65 x 1, não é?

De qualquer forma, o seu comentário me fez pensar na possibilidade de funcionar somente com números semiprimos. Por isso, fiz alguns testes e o que deu um resultado mais "bonitinho" foi a troca de 65 por 21. Veja:

$Equação exponencial Gif$

Não sei se deveria trocar as bases para esse cálculo funcionar, mas o fato é que uma manipulação um tanto estranha...

por **Elcioschin** Dom 24 Mar 2024, 19:18

A solução vale somente se forem considerados os fatores primos de 65: 5 e 13
E o valor 1 não é fator primo, pois 1 não é um número primo e 65 também não é.

por Ada Augusta Dom 24 Mar 2024, 19:27

Elcioschin escreveu:A solução vale somente se forem considerados os fatores primos de 65: 5 e 13
E o valor 1 não é fator primo, pos 1 não é um número primo.

E a respeito do resultado de n ao modificar o 65 por 21?

por **Giovana Martins** Dom 24 Mar 2024, 21:04

Ada Augusta escreveu:
Giovana Martins escreveu:
A explicação não é das mais técnicas, mas acho que vai dar para entender. Do contrário, avise.

Isso só da certo, pois 65 somente pode ser escrito como 5 x 13. Não há outra possibilidade de escrita.

Se a igualdade fosse igualada a 64, por exemplo, já não daria certo. Veja 64 = 2 x 32 = 4 x 16.

Daí vem: a + b = 32 e a - b = 2 ou então a + b = 16 e a - b = 4.

Veja que há uma grande incoerência, pois como é que a e b somados resultam em 32 e os mesmos a e b somados resultam em 16? Impossível. São os mesmos números.

O mesmo vale para a subtração, pois não é possível a - b = 2 e, ao mesmo tempo, a - b = 4.
Entendi, mas o 65 também pode ser escrito como 65 x 1, não é?

De qualquer forma, o seu comentário me fez pensar na possibilidade de funcionar somente com números semiprimos. Por isso, fiz alguns testes e o que deu um resultado mais "bonitinho" foi a troca de 65 por 21. Veja:

$Equação exponencial Gif$

Não sei se deveria trocar as bases para esse cálculo funcionar, mas o fato é que uma manipulação um tanto estranha...

Boa noite, Ada. A minha resposta anterior ficou incompleta, pois esqueci de citar o que o mestre Élcio falou. Quando eu disse que 65 só podia ser escrito como sendo 5 x 13 é porque eu me referia a decomposição de 65 em fatores primos.

Quanto a sua dúvida sobre o 21, vai dar errado se você tentar usar o mesmo artifício, pois neste caso passaremos a ter uma equação cuja solução é obtida a partir de cálculo numérico (cálculo computacional via método de Newton - Raphson, método da bissecção, método da secante etc).

Veja que você testou somente 2^n/2 = 2, o que acarreta n = 2, porém, 3^n/2 = 5 não retorna n = 2, o que demonstra que o método falha para 3ⁿ - 2ⁿ = 21, igualdade que tem solução aproximada somente.

A equação você está lidando não se trata de uma equação trivial. Nesta igualdade, cada caso é um caso. A meu ver, o examinador que propôs a questão, o fez já sabendo que 3ⁿ - 2ⁿ deveria ser igualado a 65, pois neste caso ter-se-ía uma solução analítica (não numérica, isto é, passível de ser resolvida na "mão"), pois note que conforme n cresce, 3ⁿ cresce muito mais rapidamente do que 2ⁿ, então é natural a gente supor valores iniciais para n, pois é mais provável que a igualdade ocorra para valores iniciais de n, o que é verificado para n = 4.

Mas note que apenas chutar n = 4 não resolveria o problema, caso se trata-se de uma questão discursiva. Neste caso, seria necessário fazer todo o cálculo que o professor do vídeo fez.

por Ada Augusta Dom 24 Mar 2024, 23:45

Ah, sim, entendi. Pensei que fosse algo mais generalista, nesse caso, seria uma artifício interessante para valores grandes de n. Em todo o caso, agradeço pela ajuda, Giovana Martins e Elcioschin!