Quadrado, círculo e reta

Esta eu recebi de um amigo pelo Zap:

Na figura abaixo temos um quadrado ABCD de lado 8, um círculo de centro O e raio 2 e uma reta AE. O círculo é tangente aos lados CD, BC e reta AE, nos pontos M, N e P

Qual é o valor de x = PE ?

Boa noite Elcio, pensei assim:
EP e EN são tangentes externas à circunferência saindo do ponto E, logo EP = EN = x;
Como os lados CB e CD são tangentes à circunferência, os segmentos ON e OM são perpendiculares aos lados do quadrado, então ONCM é um quadrado, consequentemente CN = 2;
A partir dos dois itens acima, BE = 8 - (2 + x) = 6 - x;
Traçando a diagonal AC, pela simetria ela passa pelo centro O, e chamando de F e G os pontos da sua intersecção com a circunferência;
A diagonal AC vale 8√2;
Fazendo potência de ponto nos segmentos CF e CN, e chamando CG de y, temos que: CG.CF = 2² -> y(y + 4) = 4 -> y = 2(√2 - 1);
Agora fazendo potência de ponto nos segmentos AG e AP, e chamando AP de z: AF.AG = z² -> z² = (8√2 - 4 - 2√2 + 2)(8√2 - 2√2 + 2) -> z² = (6√2 - 2)(6√2 + 2) -> z = √68 = 2√17;
Por fim, aplicando pitágoras ao triângulo retângulo ABE:
AE² = AB² + BE² -> (2√17 + x)² = (² + (6 - x)² -> x(4√17 + 12) = 32 -> x = 8/(√17 + 3)

Uma ligeira variação:

Se AC =8√2 e OC =2√2 então AO =6√2.
Pitágoras no triângulo retângulo AOP resulta z =2√17.

finalmente racionalizando, x = √17 - 3 ≈ 1,123

Perfeito!