Reta Tangente à Circunferência

[latex]\\\mathrm{Pit\acute{a}goras\ no\ \Delta APD:AP^2=(2)^2+(7)^2=53}\\\\ \mathrm{Pit\acute{a}goras\ no\ \Delta ABD:BP=\sqrt{53-(1)^2}=2\sqrt{13}}[/latex]

Estas questões de tangência em geometria analítica são bem clássicas. Em alguns casos, a solução mais rápida ocorre por geometria plana, porque dá para encontrar alguns triângulos retângulos a partir de construções auxiliares, o que facilita as contas.

Dicas da construção geométrica:

1) Posicione o ponto P(3,7) no sistema xOy;
2) Posicione a circunferência no sistema xOy;
3) A partir do ponto P(3,7) trace as duas retas tangentes à circunferência;
4) Trace os raios do centro da circunferência até os pontos de tangência B e C;
5) Construa o triângulo retângulo APD;
6) Encontre o que o enunciado solicitou a partir de Pitágoras.

Nota: o desenho deve ser feito em escala (com régua) para ficar inteligível.

A propósito, é possível resolver esta questão usando algebrismo. Não o farei agora, pois estou com pouco tempo (vai dar bastante conta, pois os números são ruins). Mais tarde, se você não se importar, eu volto aqui para postar a resolução alternativa.

Se alguém quiser postar alguma ideia alternativa, sem problemas também .

Elcioschin escreveu:Outra solução, usando GA

Equação da reta tangente, com coeficiente angular m e passando por P(3, 7)

y - yP = m.(x - xP) ---> y - 7 = m.(x - 3) ---> y = m.x + 7 - 3.m

Substitua y na equação da circunferência: vc vai chegar numa equação do 2º grau em x

Para a reta ser tangente ---> ∆ = 0 ---> calcule m e calcule xB e xC

BP² = (xP - xB)² + (yP - yB)² ---> Calcule BP

Obrigada, mestre. Era isso que eu iria propor.