Comprimento da tangente

1. Um quadrado e dois quartos de círculo de raio 1 e 2, estão contidos no quadrado da figura. TU é a tangente de ambos os círculos. Determine o comprimento do TU (comprimento de tangente).

Seja um sistema xOy com O(0, 0) no vértice inferior esquerdo do quadrado e A(3, 0), B(3, 3), C(3, 0) os demais vértices

Equação do arco maior ---> x² + y² = 9 ---> I

Equação do arco menor ---> (x - 3)² + (y - 3)² = 1 ---> II

Equação da reta que contém pontos de tangência T e U: y = a.x + b --> III

III em I ---> x² + (a.x + b)² = 9 ---> 

(a² + 1).x² + 2.a.b.x + b² - 9 = 0 ---> IV

Para a reta ser tangente em T o discriminante da equação deverá ser nulo:

(2.a.b)² - 4(a² + 1).(b² - 9) = 0 ---> simplifique ---> V

De modo similar para ponto U --> 

(x - 3)² + [(a.x + b) - 3]² = 1 ---> VI

Com V e VI calcule a, b.
Depois calcule as coordenadas T(xT, yT) e U(xU, yU)
E finalmente TU² = (xU - xT)² + (yT - yU)²

TU = √2

amanhã de madrugada, qdo. chegar em casa, posto solução por geom. plana.

este exercício foi postado no fórum de geom. analítica mas é muito mais facilmente resolvido por geom. plana.



Quadrado de lado 3 portanto, por Pitágoras, a diagonal AB = 3√2.
A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
\(AT \perp TU \,\, \wedge \,\, BU \perp TU \,\, \therefore\,\, AT // BU \)
prolongue AT do segmento TC = BU = 1.
\(\therefore\,\, CB//TU \,\,\wedge\,\,CB=TU=x\,\,\,e\, também \,\,\angle ACB = \angle ATU = 90º \)
por Pitágoras no \(\triangle ACB\)
x² = (3√2)² - 4² = 18 - 16 = 2
x = TU = √2

Excelente solução Medeiros. Acho que a folia carnavalesca te inspirou!

Élcio,
antes fosse, companheiro. Na verdade trabalhei direto no carnaval (e não foi empurrando carro alegórico, não).
Como já me convenci, sou um escravo remunerado.