Geometria plana - Relações métricas

por Lancelott Sáb 10 Fev 2024, 13:34

Um ponto P está a 9 unidades do centro de uma circunferência de raio 15. Quantas cordas distintas dessa circunferência contêm P e possuem comprimentos inteiros?

a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 29.

Resposta:

por **Elcioschin** Sáb 10 Fev 2024, 14:48

Seja AB um diâmetro e O o centro: OA = OB = 15

Poste o ponto P tal que OP = 9 e BP = 6 ---> AP = OA + OP = 15 + 9 = 24

Trace uma corda qualquer CPD com CP = x e DP = y

Lei das cordas ---> CP.DP = AP.BP ---> x.y = 24.6 ---> x.y = 144 --->

x.y = 2⁴.3² ---> Total de combinações inteiras = (4 + 1).(2 + 1) = 15

Pares de combinações:

(1, 144), (2, 72), (3, 48), (4, 36), (6, 24), (8, 18), (9, 16), (12, 12)

Mas os valores 144, 72, 48 e 36 não servem, pois superam o diâmetro 30

Complete

por Lancelott Seg 12 Fev 2024, 10:21

Muito obrigado.

por **Medeiros** Seg 12 Fev 2024, 13:53

uma abordagem geométrica.

Evidente que a maior corda é o diâmetro AB = 30.
A menor corda passando por P é perpendicular ao diâmetro neste ponto (CD). Como o raio perpendicular a uma corda corta-a no ponto médio, pelo lei das cordas temos CP = PD = 12 ---> CD = 24.
O comprimento de todas as demais cordas possíveis passando por P estão entre esses valores; contudo em números inteiros temos somente os comprimentos {25, 26, 27, 28, 29} -- 5 cordas. Note-se, porém, que podemos desenhar tais cordas também para o lado de cima (não contemplado na fig. abaixo)