Inequação do 2 Grau.

por kakaneves999@gmail.com Ter 09 Jan 2024, 14:15

Determine m para que se tenha ∀ x ∈ ℝ.
x²+(2m+3)x+(m²+3)≥0

Gaba; m≤1/4

Alguém poderia por favor detalhar a condição para ser m≤1/4?
Desde já, agradeço a colaboração de todos!!!

por **Leonardo Mariano** Ter 09 Jan 2024, 14:37

Boa tarde, a função dada é uma parábola com concavidade para cima, então para garantir que na imagem não existam valores negativos, o y vértice deve estar no eixo x ou acima dele, ou seja, ser maior ou igual a zero:
[latex] y_v\geq 0\rightarrow \frac{- \Delta}{4a}\geq 0\rightarrow -\frac{(2m+3)^2-4.1.(m^2+3)}{4.1}\geq 0 \\
\rightarrow - \frac{4m^2+12m+9-4m^2-12}{4}\geq 0 \rightarrow -\frac{12m-3}{4}\geq 0 \\
\rightarrow 12m-3\leq 0 \therefore m \leq \frac{1}{4} [/latex]

por kakaneves999@gmail.com Ter 09 Jan 2024, 14:53

Obrigado, meu amigo. Uma dúvida, se a função fosse f(x)≤0.
A condição para Yv tbm seguiria -∆/4a≤0?.

por **Leonardo Mariano** Ter 09 Jan 2024, 15:14

Pense na imagem do gráfico: Nesta questão o coeficiente de x² é positivo, então o gráfico é uma parábola com concavidade para cima, possuindo um valor de mínimo, que é o seu vértice. Como foi pedido para garantir que a imagem fosse sempre positiva ou zero, basta fazer com que o seu valor mínimo seja 0 ou mais, ou seja: -∆/4a ≥ 0.
Para que seja pedido apenas imagens negativas ou zero é necessário que a função tenha o coeficiente de x² negativo, ou seja, que ela possua concavidade para baixo, tendo então um valor de máximo. Neste caso você poderia fazer o que mencionou, garantir que o valor máximo seja 0 ou menos, ou seja: -∆/4a ≤ 0.