Progressão aritmética - Logaritmo

por Jean1512 Qui 24 Nov 2011, 10:40

Sabendo que $(1, log_{y}x, log_{z}y,-15log_{x}z)$ - estão em progressão aritmética nesta ordem satisfazendo as condições de existência dos logaritmos. Então o valor da expressão $log_{z}x - log_{x}y - log_{y}z$ é igual a:

a)1
b)7
c)11/3
d)3
e)7/3

GAB:

Spoiler:

Eu encontrei 13/3 e cansei de checar as contas. Very Happy

OBS: Questão 01) 1º Simulado ITA/IME LPM
Disponível em:

http://www.rumoaoita.com/site/attachments/364_SIMULADO_2010___ITA%20IME__N01.pdf

por Paulo Testoni Qua 21 Dez 2011, 17:33

Hola Jean1512.

Pode ter havido erro de digitação, pois mais pessoas também obtiverem o mesmo resultado que o seu.

por Paulo Testoni Qui 22 Dez 2011, 16:40

Hola Jean1512.

Coloque aqui a sua solução.

por christian Qui 22 Dez 2011, 18:22

tentei fazer ela , mas n consegui tb

por Jean1512 Sex 23 Dez 2011, 01:56

Mudança de variável:

Sejam:

$log_{z} x =a , log_{x} y =b , log_{y} z =c$

a sequência fica então:

$(1, \frac{1}{b} , \frac{1}{c} , \frac{-15}{a} )$

Como é uma P.A. ,
a2 - a1 = a3 - a2 = r
a2= (a1 + a3)/2
r=1/b - 1 ...(i)

$\frac{2}{b} =( \frac{1}{c} +1)/2$

2c= bc + b

c=b/(2-b) ... (ii)

(i)
r=1/b - 1

a4 = a3 + r

-15/a = 1/c + 1/b -1

a=(-15)/( 1/c + 1/b - 1)

(ii)
c=b/(2-b)

a= (-15)/((2-b + 1 -b)/b)

a=-15b/(3- 2b) ... (iii)

abc=1 (propriedade de logaritmos: $log_{x} y = \frac {log_{c} y}{log_{c} x}$

(ii) e (iii)

((-15b)/(3-2b) )(b)(b/(2-b)) =1
.
.
.

15b³ + 2b² - 7b + 6 = 0
b =-1 uma raiz por inspeção
Briot-Ruffini
15 2 - 7 6
-1 15 -13 6 0

(b+1)(15b² - 13b + 6)

15b² - 13b + 6 = 0

delta = 13² - 4.15.6 = 169 -360 < 0

solução: b=-1

(ii) a = -15b/(3-2b)

a=15/5

a=3

(iii) c=b/(2-b)
c=-1/3

$log_{z}x - log_{x}y - log_{y}z$ = a -b - c

= 3 + 1 +1/3 = 13/3

Very Happy