questão de geometria analítica

Prove que as retas [latex]x^{2}+2xy.sec(2\alpha )+y^{2}=0[/latex] são igualmente inclinadas da reta [latex]x+y=0[/latex]

Basta fatorar a expressão dada. Nesse caso da pra supor que a fatoração é da forma (ax+y)(bx+y). De fato vale que:

\( (y - \tan(-45^\circ +  \alpha) x )(y - \tan (-45^\circ - \alpha)) = x^2 + 2xy \sec 2\alpha  + y^2\)

Para conferir isso é só notarmos que sendo t = tan(α), vale:

\(- \tan(-45^\circ + \alpha) = \tan(45^\circ - \alpha) = \dfrac{1 - t}{1+t} \)

\(- \tan(-45^\circ - \alpha) = \tan(45^\circ + \alpha) = \dfrac{1 + t}{1- t} \)

Daí tan(-45°+α) tan(-45°-α) = 1 e

\( - \tan(-45^\circ + \alpha) - \tan(-45^\circ - \alpha) = \dfrac{1-t}{1+t} + \dfrac{1+t}{1-t} = \dfrac{2(1+t^2)}{1-t^2} \implies \)

\( - \tan(-45^\circ + \alpha) - \tan(-45^\circ - \alpha) = 2 \dfrac{1 + \dfrac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{ 1 - \dfrac{\sin^2 \alpha} {\cos^2 \alpha}} =  \dfrac 2{ \cos^2 \alpha - \sin ^2\alpha} = 2 \sec 2\alpha\)

Para concluir, basta notar que a bissetriz das retas \( y = \tan(-45^\circ + \alpha)x \) e \( y = \tan(-45^\circ - \alpha)x\) é a reta \( y = \tan(-45^\circ)x\). Ou seja, é a reta y = -x.