questão de geometria

Sabendo que o lado do quadrado vale 1 cm, e que o segmento AC vale 1 cm também, calcule AB.
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Essa questão tem no fórum, mas não tem a resposta completa como irei postar. Essa questão caiu na ibero de matemática. Vamos lá:


AB = x

CB = sqrt(1 - x²)


Por semelhança:

CB/L = AB/(AB+L)

sqrt(1 - x²) = x/(x + 1)

Elevando ao quadrado achamos:

x^4 + 2x³ + x² - 2x - 1 = 0


Nessa parte que a maioria dos estudantes não sabem mais continuar, irei essa equação de duas formas diferentes, fica a seu critério qual a melhor:


1)


Seja x = a e x/(x + 1) = b


Então,


a/(a+1) = b

a - b = ab

Eleva ao quadrado

a² - 2ab + b² = (ab)²

1 - 2ab = (ab)²


Considere: ab = y


1 - 2y = y²

y² + 2y - 1 = 0

Soma 2 em ambos os lados

y² + 2y + 1 = 2

(y + 1)² = 2

y + 1 = +- sqrt(2)

y = - 1 +- sqrt(2)





ab = sqrt(2) - 1
ab = - sqrt(2) - 1





Assim,



x*(x/(x+1)) = sqrt(2) - 1


x*(x/(x+1)) = - (sqrt(2) + 1)




Acharemos as equações do segundo grau:


x² - (sqrt(2) - 1)x - (sqrt(2) - 1) = 0
x² + (sqrt(2) + 1)x + (sqrt(2) + 1) = 0


A partir daqui é bem simples.







Segunda forma:

2)


Achamos a equação:

x^4 + 2x³ + x² - 2x - 1 = 0


Então, é só fatorar:



(x² - (sqrt(2) - 1)x - (sqrt(2) - 1))*(x² + (sqrt(2) + 1)x + (sqrt(2) + 1)) = 0


E depois é só resolver as equações.








Existe uma outra forma de resolver usando trigonometria, mas é bem similar ao primeiro método. Deixo como exercício.



Abraço.

Boa Luis!

Cara achei interessante a idéia de fatorar, mas parece ser algo do além...

Se você pudesse detalhar melhor, eu agradeceria bastante. Valeu!

Diogo escreveu:Boa Luis!

Cara achei interessante a idéia de fatorar, mas parece ser algo do além...

Se você pudesse detalhar melhor, eu agradeceria bastante. Valeu!

O método 2 né ?
kk, pois é, também acho algo muito extraordinário.

Para você entender o que irei comentar agora é necessário que dê uma lida na teoria desse material do prof. Judson:

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Dá uma lida na teoria e depois veja o que irei fazer:

x^4 + 2x³ + x² - 2x - 1 = 0

x²................x..........+1
x²................x.........-1


Veja que x².x² = x^4
+1*-1 = -1

x².-1 + x².+1 + x*x = x²


x².x + x².x = 2x³


Até aí tudo certo, só precisariamos que mais uma coisa desse certo para acharmos a forma fatorada:

x*-1 + x*+1 deveria ser igual a - 2x
mas, não é verdade, assim, essa forma fatorada não é dessa forma.


Agora se colocarmos - 1 em cima e + 1 em baixo, podemos tentar da mesma maneira, entretanto, não irá dar certo.


Então, se não funciona com + 1 e -1 eu pensei em V2 - 1 e V2 + 1 (na verdade, foi mais um chute, pois na maioria das vezes que não dá com +1 e -1, pode dar certo com V2 - 1 e V2 + 1)

O resto acho que você já sabe. Vale ressaltar, que a primeira forma é a mais adequada para a resolução do problema.
Abraço.

Pow, muito bom Luis.

Obrigado mesmo pela atenção. Verei com maior calma o artigo e tudo mais.

Grato!

Diogo escreveu:Pow, muito bom Luis.

Obrigado mesmo pela atenção. Verei com maior calma o artigo e tudo mais.

Grato!

Veja mesmo o arquivo, é muito bom !
Ajuda muito !!!

Ótima Resolução,
Obrigado luiseduardo.

Solução do professor Eduardo Massao:

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1) somando [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link] nos dois lados

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]

2)extraindo a raiz , temos :

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Felipecrf escreveu:Solução do professor Eduardo Massao:

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1) somando [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link] nos dois lados

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2)extraindo a raiz , temos :

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Muito bom, Felipe, não conhecia essa resolução.
Abraço.