Mecânica Quântica - Operadores, autovalores e autovetor

Sejam  e Ô dois operadores compatíveis (o comutador entre eles é nulo). Se  produz autovalores não degenerados, então a aplicação de Ô nos autovetores de  também produz autovalores não degenerados?

Não necessariamente. A compatibilidade dos operadores  e Ô implica que a ordem da aplicação deles não afeta o resultado final. Em outras palavras, se um vetor é um autovetor de Â, então a aplicação de Ô sobre ele também produzirá um autovetor de Â, e vice-versa. No entanto, a propriedade de não degenerescência dos autovalores não é preservada necessariamente pela aplicação de Ô.
Para dar um contraexemplo, suponha que  é um operador diagonalizável com autovalores não degenerados, ou seja, existem autovetores linearmente independentes associados a cada autovalor de Â. Se Ô é um operador que muda a ordem desses autovetores, mas preserva os autovalores, então a aplicação de Ô nos autovetores de  produzirá novamente autovetores de Â, mas agora a não degenerescência dos autovalores pode ser perdida.
Por exemplo, considere a matriz diagonalizável A abaixo:
| 1 0 |
| 0 2 |
Os autovalores de A são 1 e 2, com autovetores associados [1 0] e [0 1], respectivamente. Se tomarmos a matriz Ô:
| 0 1 |
| 1 0 |
e aplicarmos Ô aos autovetores de A, obtemos os vetores [0 1] e [1 0], que ainda são autovetores de A, mas agora ambos associados ao autovalor 1, tornando-o degenerado.
Portanto, a aplicação de Ô nos autovetores de  não garante a não degenerescência dos autovalores.